Ом-м-м...
6/10Электрическая цепь (рис. 2) собрана из одинаковых омметров и резистора, сопротивление которого \(R = 1~\text{кОм}\). Все омметры включены в цепь так, что у приборов с нечётным номером клемма, помеченная знаком плюс, находится слева, а у чётных — сверху. Определите показания первого, четвёртого и тринадцатого омметров.
Указание: считайте, что омметр состоит из соединённых последовательно идеального источника постоянного напряжения \(U\), резистора сопротивлением \(R = 1~\text{кОм}\) и идеального амперметра (рис. 1). При подключении к омметру исследуемого резистора показания амперметра, встроенного в омметр, автоматически пересчитываются (например, с помощью встроенного микропроцессора) так, что на цифровом табло прибора отображается значение сопротивления исследуемого резистора \(R_x\), подключённого к омметру.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаВсю цепь омметров можно заменить эквивалентным источником напряжения \(U_0\) и резистором \(R_0\) без изменения тока через резистор \(R\). Затем рассмотрите контур с внешним резистором и первыми двумя омметрами.
Ответ\(R_1 = R_{13} = 0\), \(R_4 = \infty\).
РешениеВсю цепь омметров можно эквивалентно (без изменения тока через резистор \(R\)) заменить идеальным источником напряжения \(U_0\) и резистором сопротивления \(R_0\). Поскольку число звеньев бесконечно, значения \(U_0\) и \(R_0\) не зависят от номера звена, начиная с которого производится замена. Из формул последовательного и параллельного соединения \[U_0 = U + \left(\frac{U}{R} + \frac{U_0}{R_0}\right)\frac{RR_0}{R + R_0}, \qquad R_0 = \frac{RR_0}{R + R_0} + R,\] откуда \(U_0 = \dfrac{(3 + \sqrt{5})U}{2}\), \(R_0 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}R\).
Ток через внешний резистор \[I_1 = \frac{U_0}{R_0 + R} - \frac{U(3 + \sqrt{5})}{2\left(R + R\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)} = \frac{U}{R}.\] Показание первого омметра \(R_1 = \dfrac{U}{I_1} - R = 0\).
Показание второго омметра находим по закону Кирхгофа для контура с внешним резистором и первыми двумя омметрами: \(2U = 2I_1R + I_2R\), откуда \(I_2R = 2(U - I_1R) = 0\). Значит, ток через второй омметр равен нулю, и \(R_2 = \dfrac{U}{0} - R = \infty\).
В следующих ветвях всё повторяется: нечётные омметры показывают ноль, чётные — бесконечность. Поэтому \(R_1 = R_{13} = 0\), \(R_4 = \infty\).
Похожие задачи
- Резисторы «треугольником» МОШ 2010/11, 9 кл.
- Четыре резистора со звезды МОШ 2010/11, 9 кл.
- Проволочный куб ВсОШ 2010/11, 9 кл.
- Серый ящик ВсОШ 2010/11, 10 кл.
- Сопротивления с ключом СПбГУ 2010/11, 10 кл.
- Сопротивления с ключом СПбГУ 2010/11, 11 кл.