Задачи › Диоды и конденсаторы

Мостик с диодами и конденсаторами

  1. Мостик с диодами и конденсаторами

    ВсОШ 2016/17, 10 кл.
    6/10

    Электрическая цепь (рис. 1) составлена из трёх одинаковых конденсаторов ёмкостью \(C_1 = C_2 = C_3 = C\), двух одинаковых диодов, двух идеальных амперметров, ключа и регулируемого источника напряжения. Зависимость силы тока через диод от напряжения на нём представлена на рис. 2.

    Рисунок
    Рисунок

    1. Пусть напряжение источника постоянно и равно \(3U_0\). Сколько теплоты выделится в цепи при замыкании ключа \(K\)?

    2. Пусть напряжение источника зависит от времени \(U = U(t)\) так, как показано на рис. 3. Ключ \(K\) постоянно замкнут. Определите зависимости от времени \(I_1(t)\) и \(I_2(t)\) показаний амперметров \(A_1\) и \(A_2\). Нарисуйте графики зависимостей \(I_1(t)\) и \(I_2(t)\) с указанием значений характерных точек на графике. Полярность источника и полярность подключения амперметров указаны на рис. 1. Во всех случаях в начальный момент времени конденсаторы не заряжены.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(Q = 10{,}5\,CU_0^2\);  2) \(I_1(t)\): \(\dfrac{CU_0}{\tau}\) при \(0<t<\tfrac{\tau}{2}\), \(\dfrac{9CU_0}{\tau}\) при \(\tfrac{\tau}{2}<t<\tau\), \(-\dfrac{CU_0}{\tau}\) при \(\tau<t<2\tau\), \(0\) при \(t>2\tau\); \(I_2(t)\): \(\dfrac{CU_0}{\tau}\) при \(0<t<\tfrac{\tau}{2}\), \(-\dfrac{3CU_0}{\tau}\) при \(\tfrac{\tau}{2}<t<\tau\), \(-\dfrac{CU_0}{\tau}\) при \(\tau<t<2\tau\), \(0\) при \(t>2\tau\).

    Решение

    Пункт 1. При малых напряжениях источника \(U\) диоды закрыты, конденсаторы соединены последовательно, и напряжение на каждом из них \(U/3\). Напряжения на диодах при этом равны \(2U/3\). Если они достигают значения \(U_0\) (т.е. при \(U = 3U_0/2\)), диоды открываются, и конденсаторы уже нельзя считать соединёнными последовательно.

    Пусть \(U_1\), \(U_2\) и \(U_3\) — напряжения на конденсаторах при полярности, указанной на рис. 1. Тогда \[U_1 + U_2 + U_3 = U, \qquad U_1 + U_2 = U_0, \qquad U_2 + U_3 = U_0,\] откуда \(U_1 = U_3 = U - U_0\), \(U_2 = 2U_0 - U\). При \(U = 3U_0\): \(U_1 = U_3 = 2U_0\), \(U_2 = -U_0\) (полярность второго конденсатора противоположна указанной на рисунке).

    Через диоды прошли заряды \(q_D = -q_2 + q_3 = CU_0 + 2CU_0 = 3CU_0\), при этом \(q_1 = CU_1 = 2CU_0\). Через источник прошёл заряд \(q_\text{ист} = q_1 + q_D = 5CU_0\), работа источника \(A_\text{ист} = q_\text{ист}U = 15CU_0^2\). Энергия конденсаторов \[W_C = 2\cdot\frac{C(2U_0)^2}{2} + \frac{CU_0^2}{2} = 4{,}5\,CU_0^2 .\] Тогда выделившееся тепло \[Q = A_\text{ист} - W_C = 10{,}5\,CU_0^2 .\]

    Пункт 2. До момента \(t = \tau/2\) напряжение на диодах меньше \(U_0\), а напряжения на конденсаторах равны \(U/3\). Токи через амперметры \[I_1 = I_2 = \frac{\Delta q_1}{\Delta t_1} = C\frac{\Delta U_1}{\Delta t} = \frac{CU_0}{\tau}.\] При \(t = \tau/2\) через диоды начинает течь ток, и напряжения на конденсаторах \[U_1 = U_3 = U - U_0, \qquad U_2 = 2U_0 - U .\] Токи через амперметры при этом \[I_2 = C\frac{\Delta(2U_0 - U)}{\Delta t} = -\frac{3CU_0}{\tau}, \qquad I_1 = \frac{\Delta q_2}{\Delta t} + \frac{\Delta q_D}{\Delta t} = 2C\frac{\Delta U}{\Delta t} + C\frac{\Delta U}{\Delta t} = \frac{9CU_0}{\tau}.\] При уменьшении напряжения в интервале времени от \(\tau\) до \(2\tau\) ток через диоды не течёт, и напряжения на конденсаторах изменяются на одну и ту же величину \(\Delta U_1 = \Delta U_2 = \Delta U_3 = \Delta U/3\). С учётом знака \(U_2\) модуль \(U_2\) возрастает, и токи \[I_1 = I_2 = C\frac{\Delta U_1}{\Delta t} = -\frac{CU_0}{\tau}.\] Графики \(I_1(t)\) и \(I_2(t)\) приведены ниже.

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх