Шарик в пружине при намерзании льда

Сначала найдите положение шарика без воды из условия равновесия. Масса намёрзшего льда определяется тем, что тепло кристаллизации идёт на нагрев шарика от \(T\) до \(0\,^{\circ}\)C. Не забудьте, что лёд на шарике тоже создаёт выталкивающую силу.

Положение шарика до заливки воды найдём из условия равновесия. Ось \(X\) направим вниз от верхнего конца недеформированной пружины: \[mg = kx_1, \qquad x_1 = \frac{mg}{k}.\] При заливке воды на шарик намерзает лёд массой \(M\). Тепло, выделившееся при кристаллизации, идёт на нагрев шарика от \(T\) до \(0\,^{\circ}\)C: \[cm|T| = \lambda M, \qquad M = \frac{cm|T|}{\lambda}.\] На шарик со льдом действует сила Архимеда: \[F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}} g\left(V + \frac{M}{\rho_{\text{л}}}\right).\] В новом положении равновесия \(kx_2 + F_{\text{А}} = (m + M)g\), откуда \[x_2 = \frac{g}{k}\left[m - \rho_{\text{в}}V + \frac{cm|T|}{\lambda} \left(1 - \frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{л}}}\right)\right].\] Так как \(\rho_{\text{в}} > \rho_{\text{л}}\), третье слагаемое в квадратных скобках отрицательно. При определённом соотношении параметров может оказаться, что \(x_2 < 0\), то есть пружина растянута, а не сжата в конечном положении. Смещение шарика: \[h = |x_2 - x_1| = \frac{g}{k}\left[\rho_{\text{в}}V + \frac{cm|T|}{\lambda} \left(\frac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{л}}} - 1\right)\right].\]