Два шарика с пружиной и нитью в комнате

Скорость разлёта шариков найдите в системе их центра масс. Горизонтальные скорости меняются только при распрямлении пружины, а вертикальные у шариков одинаковы, поэтому шарики всё время на одной высоте. Удобно следить за горизонтальными координатами с учётом отражений от стен.

Пока нить натянута, вертикальные проекции скоростей шариков совпадают. Пружина в момент срабатывания ориентирована горизонтально: иначе вертикальные проекции скоростей разошлись бы, и шарики не упали бы на пол одновременно. Поэтому шарики всё время находятся на одинаковой высоте над полом, и пружина меняет только горизонтальные проекции скоростей.

В системе центра масс шарики до распрямления покоились; после распрямления они разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями \(u\). Из закона сохранения энергии \[2\cdot\frac{mu^2}{2} = E, \qquad u = \sqrt{\frac{E}{m}}.\] В системе, связанной с комнатой, горизонтальные скорости шариков становятся равными \(V_0 + u\) и \(V_0 - u\). В полёте шарики могут ударяться о стены, но не друг о друга, поэтому горизонтальные координаты совпадают в момент срабатывания пружины и в момент падения. Обозначим через \(x\) искомое расстояние от левой стены до места падения. Возможны три случая (рис.):

1. \(0 < u \leqslant V_0\): оба шарика продолжают движение в первоначальном направлении. Первый шарик ударяется о правую стену и летит навстречу второму. Приравняем время полёта: \[\frac{2L + (3L - x)}{V_0 + u} = \frac{x - L}{V_0 - u} \quad\Rightarrow\quad x = 3L - \frac{2Lu}{V_0}.\] Условие \(u \leqslant V_0\) равносильно \(x \geqslant L\).

2. \(V_0 < u \leqslant \dfrac{3}{2}V_0\): второй шарик движется назад с небольшой скоростью и падает, не долетев до левой стены; первый шарик, отразившись от правой стены, догоняет второй. Расстояние второго шарика по горизонтали равно \(L - x\), скорость равна \(u - V_0\), и получается то же выражение для \(x\).

3. \(u > \dfrac{3}{2}V_0\): второй шарик движется назад с достаточно большой скоростью, и шарики встречаются после того, как оба ударились о стены: \[\frac{2L + (3L - x)}{V_0 + u} = \frac{L + x}{u - V_0} \quad\Rightarrow\quad x = 2L - \frac{3LV_0}{u}.\] Условие \(x > 0\) равносильно \(u > \dfrac{3}{2}V_0\). Случай \(u = \dfrac{3}{2}V_0\) — граница между вторым и третьим случаями: шарики попадают точно в левый угол комнаты.