Тень от лампы под зеркальным потолком

Зеркальный потолок можно заменить второй такой же лампочкой в мнимом изображении: тень и полутень на полу от этого не изменятся. Запишите подобие треугольников для лучей, идущих от лампочки и её изображения через края стола.

Пусть \(x\) — расстояние от лампочки до потолка. Плоское зеркало даёт мнимое изображение лампочки на таком же расстоянии \(x\) за зеркалом. Области тени и полутени на полу не изменятся, если убрать зеркальный потолок и поместить в точку изображения ещё одну такую же лампочку. Расстояние от лампочки до стола \(y = H - x - h\).

Проведём из лампочки и её изображения лучи через края стола (рис.). Эти лучи определяют границы тени и полутени; \(r\) и \(R\) — расстояния от центра до границ тени и полутени на полу, \(R - r = d = a/2\). Из подобия треугольников: \[\frac{a}{y + 2x} = \frac{r}{y + 2x + h}, \qquad \frac{a}{y} = \frac{R}{y + h}.\]

С учётом \(R - r = d = a/2\) и \(H = 3a\) получается квадратное уравнение для \(x\): \[x^2 + 4ax - 4a^2 = 0.\] Выбирая положительный корень, находим \(x = 2a\left(\sqrt{2} - 1\right)\).