Сопротивление кольца по таблице

Сопротивление зависит только от отношения радиусов и пропорционально \(\rho/d\). Подумайте, как сопротивления складываются при вложении одного кольца в другое, и как связаны значения \(f(xy)\) и \(f(x)\), \(f(y)\).

Сопротивление кольца \(R = \dfrac{\rho}{d}\,f\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)\) — по соображениям размерности и симметрии, где \(\rho\) — удельное сопротивление материала. Так как все точки внутренней и внешней поверхностей эквивалентны, ток течёт строго радиально. Поэтому кольца можно отмасштабировать: при толщине \(d = 0{,}5\) мм в \(n\) раз меньшей толщине сопротивление умножается на \(n\), а при умножении обоих радиусов на одно число сопротивление не меняется.

Таблицу удобно записать так: в первой строке радиусы умножены на 6, во второй — на \(\tfrac{2}{5}\). Тогда кольцо третьей строки получается вложением второго кольца в первое, и это последовательное соединение двух колец (рис.):

\[R_0 = 38~\text{Ом} + 80~\text{Ом} = 118~\text{Ом}.\] Алгебраически: \(f(10) = 40\alpha\) и \(f(3) = 19\alpha\), где \(\alpha = \dfrac{(1~\text{Ом})(1~\text{мм})}{\rho}\). Представляя кольцо с радиусами \(r_1 < r_3 < r_2\) как последовательное соединение колец \((r_1, r_3)\) и \((r_3, r_2)\), получаем \(f(xy) = f(x) + f(y)\). Поэтому \[f(30) = f(3) + f(10) = 59\alpha, \qquad R_0 = \frac{2 f(30)}{\alpha}~\text{Ом} = 118~\text{Ом}.\]