Цепь с убывающими сопротивлениями

Сопротивления образуют геометрическую прогрессию: найдите её сумму и число членов. Затем учтите параллельное сопротивление.

Сопротивления \(R, R/2, R/4,\dots,R/2048\) — это \(12\) членов геометрической прогрессии со знаменателем \(q=1/2\) (так как \(2^{11}=2048\)). Полное сопротивление цепи \[R_0=R\left(1+\frac12+\dots+\frac{1}{2048}\right)=R\,\frac{1-2^{-12}}{1/2}\approx 60~\text{Ом}.\] При параллельном подключении \(R_1\) общее сопротивление \[R_2=\frac{R_1R_0}{R_1+R_0}=\frac{30\cdot 60}{90}=20~\text{Ом}.\] Так как напряжение источника одно и то же, мощности относятся как обратные сопротивления: \[\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_2}{R_0}=\frac{20}{60}\approx 0{,}33,\] то есть мощность возрастает в \(3\) раза.