Моторные лодки на реке

Запишите, что лодки встретились через одно и то же время после старта первой лодки, и найдите скорость течения. Затем сравните время, за которое первая лодка доплывает до финиша, с временем второй лодки до её финиша.

\(Y=8\) км.

Пусть \(V\) — скорость лодки относительно воды, \(U\) — скорость течения относительно берега, \(Y\) — искомое расстояние второй лодки до финиша.

Лодки встретились на расстоянии \(X\) от места разворота; считаем, что вторая лодка стартовала одновременно с началом движения первой против течения, то есть обе лодки двигались на этих отрезках одно и то же время: \[\dfrac{X}{V-U}=\dfrac{L-X}{V+U}\quad\Rightarrow\quad 2VX=L(V-U).\] При \(X=L/4\) получаем \(U=V/2\).

Первая лодка проплыла \(L-X\) против течения за то же время, за которое вторая проплыла \(X\) по течению и \(L-Y\) против течения: \[\dfrac{L-X}{V-U}=\dfrac{X}{V+U}+\dfrac{L-Y}{V-U}.\] Преобразуя, получаем \[Y=L\,\dfrac{V-U}{V+U}=\dfrac{L}{3}=8~\text{км}.\] Явное выписывание аналитической формы ответа при корректном решении не обязательно. Есть и более короткое решение без скорости течения: искомое расстояние не меняется после разворота второй лодки, а к этому моменту первая лодка проплывёт ещё \(X\cdot X/(L-X)\), поскольку скорости лодок постоянны.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.