Два груза на полусфере
6/10Неподвижная вертикальная горка имеет закругленную вершину в виде полусферы радиуса \(R = 10\) м. На горке удерживают систему из двух небольших грузов одинаковой массы, связанных невесомой нерастяжимой нитью, при этом верхний груз находится в самой верхней точке полусферы (см. рис.). Грузы отпускают, и они начинают скользить по горке. Движение грузов происходит в вертикальной плоскости, проходящей через центр полусферы, нить в процессе движения остается натянутой. Какое расстояние пройдет нижний груз до того момента, как верхний груз перестанет давить на горку. Трением между горкой и грузами пренебречь. Ответ дайте в метрах (м), округлив его до десятых.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаЗакон сохранения энергии связывает высоты обоих грузов. Верхний груз отрывается от поверхности там, где радиальная составляющая силы тяжести сообщает ему центростремительное ускорение.
Ответ\(6{,}2\) м.
РешениеОбозначим массы грузов \(m\), скорости грузов в конечном положении, когда верхний груз не давит на горку, \(v\). Запишем закон сохранения энергии для начального и конечного положений грузов. В конечный момент, когда груз не давит на горку, \(\dfrac{mv^2}{R} = mg\cos\alpha\). Из этих соотношений получается уравнение для угла \(\alpha\), которое решается подбором: \(\alpha \approx 0{,}623\) рад. Путь нижнего груза \(s = R\alpha \approx 6{,}2\) м.
Похожие задачи
- Шайба в желобе МОШ 2011/12, 11 кл.
- Мёртвая петля СПбГУ 2014/15, 10 кл.
- Мёртвая петля СПбГУ 2014/15, 11 кл.
- Мёртвая петля СПбГУ 2014/15, 9 кл.
- Тело на нити в вертикальной плоскости Росатом 2018/19, 11 кл.
- Шайба на полусфере Физтех 2023/24, 10 кл.