Ракета с отключением двигателя

Найдите высоту и скорость ракеты в момент выключения двигателя, а затем запишите координату ракеты, которая движется только под действием силы тяжести.

Из законов равноускоренного движения ракеты с ускорением \(a = 2g\) находим высоту, на которой выключится двигатель, и скорость ракеты в этот момент: \[h = \frac{2g\,t_0^2}{2} = g\,t_0^2, \qquad v = 2g\,t_0.\] Поэтому закон движения ракеты с ускорением \(g\) даёт её вертикальную координату как функцию времени \[y(t) = g\,t_0^2 + 2g\,t_0\,t - \frac{g\,t^2}{2}.\] Здесь время отсчитано от момента выключения двигателя, начало координат находится на поверхности земли, ось \(y\) направлена вертикально вверх. В момент падения ракеты на землю её координата становится равной нулю, поэтому для момента падения \(t_1\) имеем \[\frac{t_1^2}{2} - 2t_0 t_1 - t_0^2 = 0.\] Решая это квадратное уравнение и выбирая положительный корень, получаем \[t_1 = \left(2 + \sqrt{6}\right)t_0.\]