Тела на нитях и чашка с песком

Какая сила трения действует на тело \(2m\) в момент начала движения? Что удерживает тело массой \(2m\) неподвижным, пока масса песка мала?

Сначала найдём минимальную массу песка, при которой тела сдвинутся с места. Поскольку массы чашки и подвешенного с другой стороны тела одинаковы, то для того чтобы тело \(2m\) сдвинулось с места, сила тяжести песка должна быть равна максимальной силе трения покоя, действующей на тело \(2m\). Таким образом, минимальная масса песка \(m_1\) определяется равенством \[m_1 g = \mu\,2mg \quad\Rightarrow\quad m_1 = 2\mu m.\] Рассмотрим теперь случай, когда масса песка в чашке равна \(m_2 = 4\mu m\). Тогда уравнения движения тел в проекции на направление их движения имеют вид \[m a = T_1 - mg, \qquad 2m a = T_2 - T_1 - 2\mu m g, \qquad (m + 4\mu m)\,a = (m + 4\mu m)\,g - T_2,\] где \(a\) — ускорение тел, \(T_1\) и \(T_2\) — силы натяжения левой и правой нитей в этом случае. Складывая эти уравнения, найдём \[a = \frac{\mu g}{2(1 + \mu)}.\]