Задачи › Сложный конденсатор, системы проводников

Сферы с ключами

  1. Сферы с ключами

    МОШ 2022/23, 11 кл.
    6/10

    Две концентрические проводящие сферы соединены в цепь, показанную на рисунке, при этом параметры цепи удовлетворяют соотношениям: \(\pi\varepsilon_0 D = 10\) мкФ, \(\mathcal{E} = 10\) В. В точке \(A\) во внешней сфере сделано отверстие, через которое пропущен изолированный провод, присоединённый к ключу \(K_2\). В начальный момент ключи \(K_1\) и \(K_2\) разомкнуты, а заряды сфер равны нулю. Сначала замыкают ключ \(K_1\). Ответы на вопросы задачи дайте в мДж, округлите до целого.

    Рисунок

    1. Какое количество теплоты выделится в цепи в процессе установления стационарного режима?

    Спустя очень большое время после замыкания ключа \(K_1\), когда заряд внешней сферы перестаёт изменяться, замыкают ключ \(K_2\).

    1. Какую работу совершит батарея в процессе установления стационарного режима после замыкания ключа \(K_2\)?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Внешняя сфера — уединённый шар с ёмкостью, пропорциональной радиусу. После замыкания \(K_2\) внутренняя сфера оказывается заземлённой: её потенциал равен нулю, поэтому на ней появляется индуцированный заряд.

    Ответ

    1) \(Q = 3\) мДж;  2) \(A_2 = 3\) мДж.

    Решение

    После замыкания ключа \(K_1\) на внешней сфере возникает заряд \(q_1 = 6\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}\). Энергия электростатического взаимодействия зарядов сферы оказывается равна \(W_1 = \dfrac{\mathcal{E} q_1}{2}\), при этом батарея совершает работу \(A_1 = \mathcal{E} q_1\) по перемещению заряда \(q_1\). Из закона сохранения энергии следует, что количество теплоты, выделяющееся в цепи, равно \[Q = A_1 - W_1 = 3\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}^2 = 3\text{ мДж}.\] После замыкания ключа \(K_2\) заряд на внешней сфере изменится и станет равен \(q_2\), при этом на внутренней сфере возникнет некоторый заряд \(q'\). Из условия равенства нулю потенциала внутренней сферы получим равенство \(q' = -\dfrac{q_2}{3}\). Теперь можно определить заряд внешней сферы, приравняв потенциал, создаваемый на ней зарядами \(q'\) и \(q_2\), значению ЭДС источника. В итоге получим: \(q_2 = 9\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}\), так что искомая работа батареи равна \[A_2 = \mathcal{E}(q_2 - q_1) = 3\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}^2 = 3\text{ мДж}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх