Перекати нить

Решение

1. Измерим диаметр \(d\) образцов проволоки с помощью микрометра, внесем данные в таблицу. Заметим, что у микрометра может быть сбит «0». При необходимости будем учитывать это и вводить поправку в измерениях. С учётом поправки, погрешность измерения диаметра \(\sigma_d=0.01~мм\).

Ответ:

2. Для закрепления проволоки прижмем её в натянутом виде к поверхности линейки с помощью двух канцелярских зажимов. Заметим, что если разместить проволоку ближе к нижнему концу линейки, линейка не изгибается под весом шарика. Дужки зажимов при необходимости можно снять.

Рис. 2. Закрепление проволоки/нити на поверхности линейки

Проведем измерения критической высоты.

В задаче мы не имеем возможности проводить прямые измерение высоты \(h\). При этом в качестве опоры используется брусок, размеры которого мы можем измерить.

Пусть брусок высотой \(a\) подпирает линейку длиной \(L\) на расстоянии \(x\) от её нижнего торца (рис. 3).

Рис. 3. Косвенное измерение высоты \(h\)

Используя геометрический принцип подобия, можно записать уравнение для \(h\):

\[h=\dfrac{aL}{x}\qquad(1)\]Таким образом для определения высоты \(h\) требуется измерить длину линейки (в контрольном опыте \(L=(51.0 \pm 0.1)~мм\) и при достижении состояния, когда шарик оказывается способен перекатиться через проволоку, надо определить длину \(x\). Также для вычислений потребуется измерить высоту бруска. Для наших опытов в качестве длины \(a\) удобно использовать короткую сторону бруска \(a=(39.5\pm 0.5)~мм\).

Для повышения точности для каждого образца проволоки проведем измерения длины \(x\) 10 раз.

При измерении \(x\) следует учитывать тот факт, что шкала нулевая отметка на шкале находится на некотором расстоянии \(\Delta x\) от края линейки. Тогда:

\[x=x'+\Delta x,\qquad(2)\]\(x'\) – координата точки опоры линейки о брусок по шкале линейки. В контрольном опыте \(\Delta x=(4.5 \pm 0.5)~мм\)

Абсолютная погрешность \(\sigma_x\) среднего значения \(x\) главным образом будет определяться случайной погрешностью:

\[\sigma_x \approx \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |x_i - \langle x \rangle|.\qquad(3)\]Приборной погрешностью измерения отдельных значений \(x\) можно пренебречь.

Оценка абсолютной погрешности \(h\):

\[\sigma_{h} \approx h\left( \dfrac{\sigma_a}{a}+\dfrac{\sigma_L}{L}+\dfrac{\sigma_x}{x} \right)\qquad(4)\]Оценка абсолютной погрешности \(h^2\):

\[\sigma_{h^2} \approx 2 h^2 \left( \dfrac{\sigma_a}{a}+\dfrac{\sigma_L}{L}+\dfrac{\sigma_x}{x} \right)\qquad(5)\]

Далее усредним полученные значения, для каждой серии измерений \(x\) рассчитаем высоту \(h\).

Ответ:

3. Перейдём к анализу экспериментальных данных. Вначале построим график зависимости \(h(d)\).

Ответ:

График зависимости \(h(d)\)

4. Из графика видно, что экспериментальные точки не ложатся на прямую. По форме кривой на графике можно сделать предположение, что они описываются «корневой» зависимостью. Для проверки этого факта построим график зависимости \(h^2(d)\).

Ответ:

График зависимости \(h^2(d)\)

Видно, что в этом случае экспериментальные точки хорошо описываются прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(k= (535\pm65)~см^2/мм\).

5. Проведем аналогичные измерения с нитью.

Квадрат критической высоты для нити составит \(h^2_{нить}=(97.0\pm3.4)~см^2\).

По графику зависимости \(h^2(d)\) определим диаметр нити

Ответ:

\(d_1= (0.18\pm0.02)~мм\).

Толщина нити, измеренная микрометром, составляет

\(d_{2}=(0.13\pm0.01)~мм\).

6. Ответ:

Разница в результатах двух измерений обусловлена тем, что нить мягкая, и в случае измерения с помощью микрометра деформируется сильнее, нежели при измерениях в эксперименте с перекатываниями шарика.

Источник: pho.rs/p/4410.