Цилиндрическое трение

Решение

1. Для нахождения отношения внутреннего и внешнего радиуса \(\frac{r}{R}\) пластикового кольца найдем отношение внутреннего радиуса кольца к внешнему радиусу трубки \(r_0\) и отношение внешнего радиуса кольца к внешнему радиусу трубки \(r_0\).

Чтобы найти \(\frac{r}{r_0}\) поместим трубку в муфту штатива, не сильно зажимая. Повесим на трубку кольцо (см. рисунок 4). Будем вращать трубку, а кольцо будет вращаться из-за силы трения в точке подвеса. Когда трубка сделает \(k_1 = 10\) оборотов, кольцо повернется на \(k_2 = 6\) оборотов. Запишем кинематическую связь для этого движения:

\[\omega_1 r_0 = \omega_2 r \qquad(4)\]Откуда получается выражение на связь радиусов и количества оборотов:

\[\frac{r}{r_0} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{k_1}{k_2} = \frac{5}{3}\qquad(5)\]Ошибка в определении числа \(k_1\) практически отсутствует. Ошибка в определении числа \(k_2\) составляет не более \(\frac{1}{8}\) оборота.

Рис. 4. Измерение внутреннего радиуса

Для определения отношения \(\frac{r_0}{R}\) обмотаем поочередно кольцо и трубку отрезком нити одной длины. Во всей длине нити укладывается \(k_3=10\) длин окружности трубки, и \(k_4=4\) длин окружностей кольца:

\[2\pi r_0 k_3= 2\pi R k_4 \qquad(6)\]Для отношения радиусов получаем:

\[\frac{r_0}{R} = \frac{k_4}{k_3} =\frac{2}{5}\qquad(7)\]Ошибка в определении \(k_3\) и \(k_2\) составляет порядка одной четверти.

Тогда получаем итоговое выражение для нахождения внутреннего и внешнего радиусов кольца:

\[\frac{r}{R} = \frac{r}{r_0}\frac{r_0}{R} = \frac{k_1k_4}{k_2k_3} = \frac{2}{3}=\left(0.67\pm0.67\right) \qquad(8)\]Погрешность значения \(\frac{r}{R}\) составляет:

\[\varepsilon_{\frac{r}{R}} = \varepsilon_{k_1}+\varepsilon_{k_2}+\varepsilon_{k_3}+\varepsilon_{k_4} =0+\frac{0.125}{6}+\frac{0.25}{10}+\frac{0.25}{4} \approx 11\%\qquad(9)\]

Ответ:

\[\frac{R}{r}=1.5\pm0.1\]

2. Ответ:

Соберем установку по схеме на рисунке 1. Длины нити достаточно для закрепления грузов далеко друг от друга (на разной высоте). Это необходимо для того, чтобы магниты не притягивались друг к другу и слабо взаимодействовали со штативом.

3. Для измерения зависимости между \(m_1\) и \(m_2\) для момента начала проскальзывания между кольцом и трубкой распишем чему равны массы грузов \(m_1\) и \(m_2\) через количество гаек массой \(m_г\) и скрепок массой \(m_с\):

\[m_1 = N_1 m_г + m_c\qquad(10)\]\[m_2 = N_2 m_г + n_2\qquad(11) m_c\]Измерим зависимость нагрузки с одной стороны кольца, от нагрузки с другой стороны кольца:

Ответ:

4. Для вывода теоретической зависимости на схеме установки изобразим силы действующие на систему «Кольцо-нить-грузы» (см. рисунок 2):

• \(m_1 g\), \(m_2 g\) – силы тяжести, действующие на грузы;

• \(Mg\) – сила тяжести, действующая на кольцо, приложенная к центру кольца;

• \(N\) – сила нормальной реакции трубки;

• \(F_{тр}\) – сила трения покоя, действующая на систему со стороны трубки.

Рассмотрим ситуацию, когда грузы \(m_1\) и \(m_2\) подобраны таким образом, что сила трения покоя достигла своего максимального значения (\(F_{тр} = \mu N\)). Дальнейшее увеличение массы \(m_2\) приведет к проскальзыванию кольца по поверхности трубки.

Диаграмма сил, действующих на систему <<Кольцо-нить-грузы>>

Из второго закона Ньютона для системы в проекции на горизонтальную ось получаем:

\[F_{тр} \cos \alpha - N \sin \alpha = 0\qquad(12)\]Тогда коэффициент трения:

\[\mu =\frac{F_{тр}}{N}= \tan \alpha \approx \sin \alpha~(для~малых~углов~ \alpha [рад] \ll 1)\qquad(13)\]Записывая уравнение моментов для системы «Кольцо-нить-грузы» относительно точки \(O\), получаем теоретическую связь между массой кольца и массами грузов с двух сторон нити:

\[Mgr\sin \alpha +m_1g(R+r\sin \alpha) = m_2g(R-r\sin \alpha)\qquad(14)\]Разделим все на \(gR\) и сгруппируем слагаемые при \(\sin \alpha\):

\[\frac{r}{R}\sin \alpha (M+m_1+m_2) = m_2-m_1\qquad(15)\]Обозначим \(x = m_1+m_2\), а \(y = m_2-m_1\), тогда график \(y(x)\) будет линейным с коэффициентом наклона \(k = \frac{r}{R}\sin \alpha\) и смещением по горизонтальной оси \(x_0 = -M\). Внесем в таблицу соответствующие значения суммы и разности масс грузов. Погрешность оцениваем как сумму абсолютных погрешностей каждой массы.

Построим график зависимости \(y(x)\):

Ответ:

График зависимости разности масс от их суммы

5. Смещение графика по горизонтальной оси:

\[x_0 = -M = -(20\pm6)~г\qquad(16)\]Отсюда получаем ответ на первый вопрос:

\[M = (20\pm6)~г\qquad(17)\]Наклон графика:

\[k = \frac{r}{R}\sin \alpha = 0.17\pm0.03\qquad(18)\]Подставим полученный результат в прошлое выражение \(18\) и найдем \(\sin\alpha\):

\[\sin \alpha = \frac{R}{r}k = 0.20\pm0.06\qquad(19)\]Подставим все в итоговое выражение для коэффициента трения:

\[\mu = \tan \alpha \approx \sin \alpha = 0.20\pm 0.06\qquad(20)\]

Примечание

График \(m_2(m_1)\) также будет линейным, однако, из его смещения \(b\) и углового коэффициента \(k\) выразить значения массы кольца и коэффициента трения будет несколько сложнее:

\[m_2=\frac{Mr\sin\alpha}{R-r\sin\alpha}+m_1\frac{R+r\sin\alpha}{R-r\sin\alpha}\]

\[b=\frac{M\sin\alpha}{\frac{R}{r}-\sin\alpha},\text{ } k=\frac{\frac{R}{r}+\sin\alpha}{\frac{R}{r}-\sin\alpha}\]

Ответ:

\[M = (20\pm6)~г\]\[\mu = 0.20\pm 0.06\qquad(20)\]

Источник: pho.rs/p/4398.