Гравитационные волны

IEPhO 2023/24, 9 кл.

5/10

В данной задаче требуется оценка погрешностей.

Теоретическая справка

Если в кювету налить слой воды небольшой толщины, то по поверхности воды могут распространяться волны. Для запуска волн следует приподнять один край кюветы на небольшую высоту и отпустить (см. рис. 1). Тогда от этого края к противоположному начнет двигаться гребень волны. Когда гребень волны достигнет противоположного края кюветы, волна отразится и гребень начнет двигаться в обратном направлении с той же по модулю скоростью. Обозначим скорость движения гребня волны за \(v\).

Задание

1. Измерьте зависимость скорости \(v\) движения гребня волны от толщины \(h\) слоя воды в кювете в диапазоне \(h\) от \(1.0\) до \(4.5~см\).

2. Постройте график исследуемой зависимости \(v(h)\).

3. Предположим, что скорость \(v\) гребня волны зависит только от толщины \(h\) слоя воды и ускорения свободного падения \(g\) следующим образом:

\[v=A g^x h^y,\]где \(A, x, y\) – безразмерные константы. Исходя из единиц измерения величин, входящих в уравнение (1), определите значения констант \(x\) и \(y\).

4. Проверьте, выполняется ли предположение пункта 3. Для этого постройте график зависимости \(v(h)\) в координатах, в которых он может описываться линейной функцией. Если предположение пункта 3 выполняется, определите значение константы \(A\) в уравнении (1).

Справочные данные. Примите ускорение свободного падения равным \(g = 9.8~м/с^2\)

Оборудование

Кювета
Ведро с водой
Стакан для переливания воды
Пластиковая линейка
Секундомер
Тряпочка для поддержания чистоты рабочего места

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

3: \[v=A\sqrt{gh}.\qquad(6)\]

Решение

1. Запустим процесс распространения волны в кювете. Для более точного определения скорости будем записывать время \(t\) нескольких прохождений \(N\) гребнем расстояния \(l=(30 \pm 1) ~см\) от стенки до стенки. При этом значение \(N\) не должно превышать \(7\), так как при большем числе прохождений кюветы волна достаточно сильно затухает. Для расчета скорости воспользуемся формулой:

\[v=\frac{lN}{t} \qquad(2)\]Проведем измерения времени \(t\) для нескольких высот \(h\) из указанного диапазона. Для получения достоверных результатов каждое время будем измерять \(5\) раз. При измерении толщины слоя воды учтем, что край линейки не совпадает с началом шкалы. Для корректного измерения толщины будем проводить измерения, разместив кювету на краю стола, чтобы сопоставлять начало шкалы линейки и дно сосуда. Рассчитаем значение скорости движения гребня волны для каждой из высот на основании усредненного времени \(t\).

Ответ:

\(h~мм\)	\(N\)	\(t_1,~с\)	\(t_2,~с\)	\(t_3,~с\)	\(t,~с\)	\(v,~м/с\)	\(\sqrt{gh},~м/с\)
7	4	4.66	4.64	4.68	4.66	0.26	0.26
17	6	4.53	4.50	4.50	4.51	0.40	0.41
23	6	4.00	4.06	4.00	4.02	0.45	0.47
29	6	3.56	3.53	3.50	3.53	0.51	0.43
34	6	3.35	3.25	3.34	3.31	0.54	0.58
40	6	2.94	3.06	3.06	3.02	0.60	0.63
46	6	2.86	2.97	2.75	2.86	0.63	0.67
52	6	2.47	2.625	2.62	2.57	0.70	0.71
10	4	3.75	3.65	3.90	3.77	0.32	0.31

2. Построим график исследованной зависимости.

Ответ:

3. Воспользуемся методом размерностей для определения вида теоретической

\[\frac{м}{с}=\frac{м^x}{с^{2x}}м^y.\tag3{}\]Составим уравнения на значений степеней:

\[\begin{cases} 1= x+y\\ 1 = 2x \end{cases}\qquad(4)\]Откуда получаем:

\[\begin{cases} y= 0.5\\ x = 0.5 \end{cases}\qquad(5)\]Следовательно, формулу (1) можно записать в виде:

Ответ:

\[v=A\sqrt{gh}.\qquad(6)\]

4. Для проверки выполняемости теоретической модели, рассчитаем в таблице значения \(\sqrt{gh}\) для каждого уровня воды в кювете и построим график зависимости \(v(\sqrt{gh})\). Значение погрешности этой величины рассчитаем как \(\Delta_{\sqrt{gh}} = \sqrt{gh} \cdot \frac{\Delta_h}{2 h}\).

Видно, что точки описываются прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(A=(0.97)\approx 1\). И действительно, теоретическое значение скорости распространения гребня при пренебрежении силами поверхностного натяжения составляет \(v_{теор}=\sqrt{gh}\). То есть можно утверждать, что теоретическая модель с хорошей точностью описывает изучаемый процесс.

Ответ:

\[A=1\]

Источник: pho.rs/p/4411.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Гравитационные волны

Гравитационные волны

Похожие задачи