Пробка (теоретический тур)

На границах пробки автомобили входят в неё и выходят из неё. Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вместе с пробкой: число автомобилей, пересекающих границу в единицу времени, с обеих сторон должно быть одинаковым.

На некотором участке автомобили движутся со скоростью \(v_0\) и одинаковой плотностью потока \(\lambda_0\). Через произвольную границу на этом участке в единицу времени проезжает \(v_0\lambda_0\) автомобилей.

Так как протяжённость пробки постоянна, то «хвост» и «голова» движутся с одинаковой скоростью \(u\). Предположим, что автомобильная пробка движется в направлении от города \(B\) к городу \(A\). Перейдём в систему отсчёта, движущуюся со скоростью \(u\), равной скорости движения пробки. Тогда автомобили приближаются к «хвосту» пробки со скоростью \(v_1 + u\), удаляются от «головы» пробки со скоростью \(v_2 + u\), а в пробке они движутся со скоростью \(v + u\).

Количество автомобилей, пересекающих границу пробки на «хвосте» в единицу времени: \[\lambda_1(v_1 + u) = \lambda(v + u). \tag{1}\] Количество автомобилей, пересекающих границу пробки в «голове» в единицу времени: \[\lambda_2(v_2 + u) = \lambda(v + u). \tag{2}\] Решая систему уравнений (1)–(2), получаем: \[u = \dfrac{\lambda_2 v_2 - \lambda_1 v_1}{\lambda_1 - \lambda_2} = 10~\text{км/ч}, \qquad v = \dfrac{\lambda_1(\lambda - \lambda_2) v_1 - \lambda_2(\lambda - \lambda_1) v_2}{\lambda(\lambda_1 - \lambda_2)} = 5~\text{км/ч}.\] Так как \(u > 0\), предположение о направлении движения пробки верно. Автомобилю, чтобы попасть в город \(B\) из города \(A\), потребуется время \(\tau = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3\), где \(\tau_1\) — время движения с момента выезда из города \(A\) до попадания в пробку, \(\tau_2\) — время движения в пробке, \(\tau_3\) — время движения с момента выезда из пробки до прибытия в город \(B\): \[\tau_1 = \dfrac{L - l}{2(v_1 + u)} = 20~\text{мин}, \qquad \tau_2 = \dfrac{l}{v + u} = 40~\text{мин}, \qquad \tau_3 = \dfrac{L - l + 2u(\tau_1 + \tau_2)}{2 v_2} = 18~\text{мин}.\] Откуда полное время движения равно \(\tau = 78\) мин.