Три бруска, пружина и упругий удар

Относительные колебания \(B\) и \(C\) — это энергия, не связанная с движением центра масс пары. Выразите её через законы сохранения импульса и энергии при ударе.

1) Начальная кинетическая энергия бруска \(A\): \(E_A = \dfrac{Mv_A^2}{2}\). Бруски \(B\) и \(C\) вместе с пружиной рассмотрим как составное тело массой \(2m\) с энергией \(Q\) внутреннего движения. Тогда после соударения \[E_A = \frac{Mv_A'^2}{2} + \frac{2m\,v_c^2}{2} + Q,\] где \(v_A'\) — скорость бруска \(A\) после удара, \(v_c\) — скорость центра масс брусков \(B\) и \(C\). Закон сохранения импульса и энергии при ударе: \[Mv_A = Mv_A' + m v_B, \qquad \frac{Mv_A^2}{2} = \frac{Mv_A'^2}{2} + \frac{m v_B^2}{2},\] откуда \[v_A' = \frac{M-m}{M+m}\,v_A, \qquad v_B = \frac{2M}{M+m}\,v_A.\] Сразу после удара брусок \(C\) покоится, поэтому \[v_c = \frac{m v_B + m\cdot 0}{2m} = \frac{v_B}{2} = \frac{M}{M+m}\,v_A.\] Тогда \[Q = \frac{Mv_A^2}{2}\cdot\frac{2Mm}{(M+m)^2}, \qquad x = \frac{Q}{E_A} = \frac{2Mm}{(M+m)^2} = \frac{2\alpha}{(1+\alpha)^2} \approx 0{,}34.\]

2) Потерянная при ударе энергия \(Q\) максимальна, когда вся кинетическая энергия переходит от бруска \(A\) к бруску \(B\), то есть при \(M = m\), \(\alpha = 1\). Это же следует из неравенства о среднем геометрическом: \[\frac{1+\alpha}{2} \ge \sqrt{\alpha} \quad\Rightarrow\quad \frac{\alpha}{(1+\alpha)^2} \le \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad x \le \frac{1}{2},\] максимум \(x = \dfrac{1}{2}\) достигается при \(\alpha = 1\).