Боксёрский мяч на двух резинках

Сначала найдите положение равновесия мяча и растяжения резинок в нём; затем рассмотрите малые смещения по вертикали и по горизонтали.

1) Пусть индекс 1 относится к резинке, соединяющей мяч с потолком, а индекс 2 — к резинке, соединяющей мяч с полом. Растяжения резинок в равновесии \(x_1\), \(x_2\) удовлетворяют равенству \(x_1 + x_2 + 2l = 4l\), то есть \(x_1 + x_2 = 2l\).

2) Из условия задачи \(k\,(2l - l) = mg\), то есть \(k = \dfrac{mg}{l}\). Силы на мяч в положении равновесия: \(T_1 = T_2 + mg\), откуда \(x_2 = \dfrac{l}{2}\), \(x_1 = \dfrac{3}{2}\,l\).

3) Вертикальное смещение мяча на \(y\) (вниз) даёт \[ma = -k\left(\frac{3}{2}l + y\right) + k\left(\frac{l}{2} - y\right) + mg = -kl - 2ky + mg.\] Поскольку \(kl = mg\), получаем \(ma = -2ky\), и период вертикальных колебаний \[T' = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}.\]

4) При небольшом горизонтальном смещении обозначим силу, действующую на мяч со стороны резинок, через \(F\), углы отклонения верхней и нижней резинок от вертикали — \(\theta\) и \(\varphi\), их длины — \(L_1 = \dfrac{5l}{2}\cos\theta\) и \(L_2 = \dfrac{3l}{2}\cos\varphi\).

5) Второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось: \[F = k\left(\frac{5l}{2\cos\theta} - l\right)\sin\theta + k\left(\frac{3l}{2\cos\varphi} - l\right)\sin\varphi = kl\left(\frac{5}{2}\operatorname{tg}\theta - \sin\theta + \frac{3}{2}\operatorname{tg}\varphi - \sin\varphi\right).\] Для малых углов \(\operatorname{tg}\theta = \dfrac{2x}{5l}\), \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{2x}{3l}\), где \(x\) — горизонтальное смещение мяча, и после упрощения \[F = \frac{14}{15}\,kx.\]

6) Аналогично вертикальным колебаниям, период горизонтальных колебаний \[T'' = 2\pi\sqrt{\frac{15m}{14k}}.\] Отношение периодов: \[\frac{T'}{T''} = \sqrt{\frac{7}{15}} \approx 0{,}68.\]