Зеркальная наклонная плоскость и снаряд

Отразите траекторию снаряда относительно прямой \(y = x\) и найдите расстояние между точкой снаряда и её отражением как функцию координаты \(x\).

1) Выберем плоскость \(XY\) так, чтобы оси совпадали с изображёнными на рисунке. Уравнения движения снаряда из начала отсчёта: \[x = v_x t = v\cos\beta\, t, \qquad y = v\sin\beta\, t - \frac{gt^2}{2}.\] Траектория: \(y = \operatorname{tg}\beta\cdot x - \dfrac{g\,x^2}{2v_x^2}\).

2) Наклонная плоскость задаётся уравнением \(y = x\). Точка приземления \(x_0\): \[x_0 = \frac{2(\operatorname{tg}\beta - 1)\,v_x^2}{g}.\]

3) Траектория изображения получается отражением исходной кривой относительно прямой \(y = x\) (перестановкой \(x\) и \(y\)): \[x_c = y = \operatorname{tg}\beta\cdot x - \frac{g\,x^2}{2v_x^2}, \qquad y_c = x.\]

4) Расстояние между изображением и снарядом: \[\Delta = \sqrt{2}\left((\operatorname{tg}\beta - 1)\,x - \frac{g\,x^2}{2v_x^2}\right).\] Это парабола с ветвями вниз; максимум достигается в вершине при \[x_\star = \frac{(\operatorname{tg}\beta - 1)\,v_x^2}{g}.\]

5) Момент времени, когда расстояние максимально: \[t_\star = \frac{x_\star}{v_x} = \frac{(\operatorname{tg}\beta - 1)\,v_x}{g} = \frac{3(\sqrt{3}-1)}{20}\text{ с} \approx 0{,}11\text{ с}.\] Заметим, что \(x_\star < x_0\), то есть точка максимума лежит до приземления снаряда.