Шарик, теряющий энергию при ударах

Время подъёма после каждого удара пропорционально корню из доли сохранившейся энергии. Сумма времён образует геометрическую прогрессию.

Время падения до первого удара \(t_0 = \sqrt{2h/g} = 10\) с. Доля энергии после удара \(\eta = 1 - 0{,}19 = 0{,}81\), высота подъёма \(h_1 = \eta h\), время подъёма \(t_1 = \sqrt{\eta}\,t_0\); после \(n\)-го удара время подъёма \(t_n = (\sqrt{\eta})^n t_0\). Полное время \(t = t_0 + 2\sum_{n\ge 1} t_n = -t_0 + 2t_0\sum_{n\ge 0}(\sqrt{\eta})^n\). Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии даёт \(t_{\max} = t_0\,\dfrac{1+\sqrt{\eta}}{1-\sqrt{\eta}} = \dfrac{10\cdot 1{,}9}{0{,}1} = 190\) с.