Тело, плавающее на границе двух жидкостей

Запишите условие плавания тела в положении равновесия и второй закон Ньютона для малого смещения \(y\) тела. Не забудьте, что при смещении тела уровни жидкостей тоже меняются.

Обозначим площадь основания тела \(S_0=S/2\), плотность жидкости в верхнем слое \(\rho_2\), в нижнем \(\rho_1=n\rho_2\). Тело погружено в нижний слой на \(h_0\) и в верхний на \(H-h_0\), поэтому условие плавания: \[m=\rho_1S_0h_0+\rho_2S_0(H-h_0)=\rho_2S_0\bigl[h_0(n-1)+H\bigr].\]

Пусть тело смещается из положения равновесия на \(y\). Изменение погруженного объема тела должно учитывать подъем уровня нижней жидкости \(y_{\text{ж1}}\). Из сохранения объема нижней жидкости \(S_0(y+y_{\text{ж1}})=S\,y_{\text{ж1}}\), откуда \[\Delta V=S_0\bigl(y+y_{\text{ж1}}\bigr)=\frac{S S_0}{S-S_0}\,y.\] Уравнение движения тела (вертикальная проекция) с учетом изменения архимедовых сил в обеих жидкостях: \[m\ddot y=-\rho_2 g(n-1)\frac{SS_0}{S-S_0}\,y.\] Подставляя \(m=\rho_2S_0[h_0(n-1)+H]\), получаем \[\ddot y+\frac{g(n-1)}{h_0(n-1)+H}\cdot\frac{S}{S-S_0}\,y=0.\] При \(S_0=S/2\) имеем \(\dfrac{S}{S-S_0}=2\), поэтому \[\omega=\sqrt{\frac{2g(n-1)}{h_0(n-1)+H}}.\]