Сосуд с водой на наклонной плоскости

Сосуд опрокинется, когда момент силы тяжести воды относительно нижнего края станет равен моменту, удерживающему сосуд. Найдите положение центра масс воды, разбив её форму на прямоугольник и треугольник.

Сосуд перевернется, когда моменты сил, стремящиеся его перевернуть, равны моментам сил, этому мешающим, относительно нижнего ребра \(O\). Эти силы — проекции силы тяжести воды. Условие равновесия: \[m_{\text{в}}g\sin\alpha\cdot RN=m_{\text{в}}g\cos\alpha\cdot RM \quad\Rightarrow\quad \mathrm{tg}\,\alpha\cdot RN=RM,\] где \(R\) — центр масс воды.

Водная фигура — трапеция. Её центр масс найдем, разбив трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник. Центр масс треугольника находится в точке пересечения медиан. Площади \(S_{tr}=\frac12 ah\), \(S_{pr}=a\left(b-\frac h2\right)\), \(h=a\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Координаты центра масс трапеции от точки \(O\): \[RM=\frac12 a-\frac{ah}{12b}, \qquad RN=\frac12 b+\frac{h^2}{24b}.\]

Подставляя в условие равновесия, получаем квадратное уравнение относительно \(b\): \[b^2-\frac{ab}{\mathrm{tg}\,\alpha}+\frac{a^2}{12}\left(\mathrm{tg}^2\alpha+2\right)=0.\] Его корни: \[b_{1,2}=\frac{a}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{tg}\,\alpha}\pm\sqrt{\frac{1}{\mathrm{tg}^2\alpha}- \frac{2+\mathrm{tg}^2\alpha}{3}}\right).\] Условию \(b>a/2\) удовлетворяет корень со знаком «+» (корень со знаком «−» соответствует треугольному, а не трапециевидному сечению воды). Объём воды \(V=ba^2\).