Задачи › Динамика качения

Обруч на полу спортивного зала

  1. Обруч на полу спортивного зала

    СПбГУ 2020/21, 11 кл.
    6/10

    Гимнаст раскручивает тонкий обруч радиусом \(R\) до угловой скорости \(\omega_0\) вокруг его оси, а затем ставит его на пол спортивного зала без начальной скорости так, как показано на рисунке. Коэффициент трения обруча о пол равен \(\mu\). Постройте график зависимости координаты центра обруча относительно оси \(x\) от времени.

    Рисунок

    Примечание: угловое ускорение \(\beta\) связано с моментом приложенных сил соотношением \(I\beta = M\), где \(I\) — момент инерции тела относительно оси вращения, \(M\) — момент внешних сил. Для обруча, вращающегося вокруг своей оси, \(I=mR^2\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сначала обруч скользит: в точке касания скорость не равна нулю, и трение направлено против неё. Выясните, когда скорость нижней точки обруча станет равной нулю, и что будет дальше.

    Ответ

    \(x(t)=x_0+\dfrac{\mu g t^2}{2}\) при \(t<\dfrac{\omega_0 R}{2\mu g}\);  \(x(t)=x_0+\dfrac{\omega_0^2R^2}{8\mu g}+\dfrac{\omega_0 R}{2}\Bigl(t-\dfrac{\omega_0 R}{2\mu g}\Bigr)\) при \(t\ge\dfrac{\omega_0 R}{2\mu g}\) (график — см. решение).

    Решение

    Скорость нижней точки обруча \(A\) в начальный момент равна \(\omega_0 R\) и направлена влево. Поэтому сначала обруч скользит, сила трения скольжения \(\mu mg\) направлена вправо. Поступательное движение равноускоренное с \(a=\mu g\), и координата центра \[x(t)=x_0+\frac{\mu g t^2}{2}.\] Угловая скорость уменьшается по закону \(\omega(t)=\omega_0-\beta t\). Из основного уравнения динамики \(I\beta=-\mu mgR\) при \(I=mR^2\) получаем \(\beta=-\dfrac{\mu g}{R}\), поэтому \(\omega(t)=\omega_0-\dfrac{\mu g}{R}t\).

    Проскальзывание прекратится, когда скорость поступательного движения станет равна \(\omega R\): \(\mu g\tilde t=\omega_0R-\mu g\tilde t\), откуда \[\tilde t=\frac{\omega_0R}{2\mu g}.\] Координата в этот момент: \[x(\tilde t)=x_0+\frac{\omega_0^2R^2}{8\mu g},\] а скорость центра \(v(\tilde t)=\dfrac{\omega_0R}{2}\).

    С момента \(\tilde t\) нижняя точка обруча имеет нулевую скорость, сила трения покоя компенсирует внешние силы, она равна нулю, и обруч движется равномерно: \[x(t)=x(\tilde t)+v(\tilde t)(t-\tilde t)=x_0+\frac{\omega_0^2R^2}{8\mu g}+ \frac{\omega_0R}{2}\Bigl(t-\frac{\omega_0R}{2\mu g}\Bigr).\]

    Итак, график \(x(t)\) состоит из участка параболы при \(t<\tilde t\) и прямой линии при \(t>\tilde t\) (см. рисунок).

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх