Брусок на вершине клина

Клин может начать поворачиваться вокруг точки, где он касается поверхности прямым углом. Запишите условие равенства моментов относительно неё при нулевом моменте реакции опоры; центр масс клина лежит в точке пересечения медиан.

\(m/M=4/3\).

1) Если положить достаточно массивный брусок на вершину клина, то клин может начать вращение вокруг точки \(O\), где он касается поверхности своим прямым углом. Клин будет покоиться при условии равенства нулю суммарного момента сил, действующего на него. Запишем это равенство относительно точки \(O\): \[Mg\,\frac{L}{3}=mg\cos\alpha\cdot L\operatorname{tg}\alpha\cdot\sin\alpha+K,\] где \(K\) — момент силы реакции опоры, действующей на клин со стороны поверхности, \(L\) — длина основания клина.

2) Предельно большая масса бруска отвечает нулевому моменту силы реакции опоры \(K\). В написанной формуле учтено, что центр масс клина находится в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в соотношении \(2:1\), считая от вершины. Брусок действует на клин только своим весом, так как трение между бруском и клином полностью отсутствует.

Условие отсутствия начала переворота клина имеет, таким образом, вид: \[Mg\,\frac{L}{3}-mg\cos\alpha\cdot L\operatorname{tg}\alpha\cdot\sin\alpha\ge 0.\] Максимальная масса бруска: \(m_{\max}=\dfrac{M}{3\sin^2\alpha}\), а искомое отношение \(m/M=4/3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.