Заряженные поршни в трубе

Притяжение заряженных поршней добавляет к атмосферному давлению давление воздуха между ними; воздух сжимается изотермически, а напряжение пропорционально заряду и расстоянию. Составьте отношение напряжений.

\(P_0=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}\).

1) Обозначим равновесное расстояние между поршнями \(h_0\), атмосферное давление \(P_0\). Когда на поршнях находятся заряды \(\pm Q\), электростатическая сила взаимодействия равна \(F_1=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S}\).

2) Эта сила уравновешивается добавочным давлением между поршнями \[P_1=P_0+\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}.\]

3) По закону Бойля — Мариотта расстояние между поршнями будет \(h_1=h_0P_0/P_1\), и напряжение \(V_1=\dfrac{Qh_1}{\varepsilon_0S}\).

4) В случае, когда на поршнях находятся заряды \(\pm 2Q\), получаем аналогично \[P_2=P_0+\frac{4Q^2}{2\varepsilon_0S^2},\qquad h_2=h_0P_0/P_2,\qquad V_2=\frac{2Qh_2}{\varepsilon_0S}.\] Разделив одно напряжение на другое, получаем \[\frac{V_2}{V_1}=\frac{2P_1}{P_2}=0{,}8\ \Rightarrow\ \frac{P_0+\dfrac{4Q^2}{2\varepsilon_0S^2}}{P_0+\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}}=2{,}5,\ \text{откуда}\ P_0=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}.\] Ответ: \(P_0=\dfrac{Q^2}{2\varepsilon_0S^2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.