Почтовые катера

Почту можно доставить, только если катера встретятся в некоторой точке и перебросят её друг другу. Топлива хватает на путь до точки встречи и обратно, это даёт отношение расстояний от пристаней до точки встречи.

\(t_B=t_A+t_1-t_2=8\) часов.

1) Доставить почту можно только перебросив ее из одного катера в другой в промежуточном пункте, удаленном на расстоянии \(x\) от \(A\) и \(y\) от \(B\). Пусть скорость катеров относительно воды \(v\), а скорость течения — \(u\).

2) При движении первого катера из \(A\) в \(B\) \[x+y=(v+u)t_1\qquad (1),\] при движении второго из \(B\) в \(A\) \[x+y=(v-u)t_2\qquad (2).\]

3) Время движения до точки встречи и обратно определяется количеством горючего: \[\frac{x}{v+u}+\frac{x}{v-u}=\frac{x\cdot 2v}{v^2-u^2}=t_1,\qquad \frac{y}{v-u}+\frac{y}{v+u}=\frac{y\cdot 2v}{v^2-u^2}=t_2,\] откуда \[\frac{x}{y}=\frac{t_1}{t_2}\qquad (3).\]

4) Обозначив \(t_B\) искомое время, получим \[t_A+\frac{x}{v+u}=t_B+\frac{y}{v-u},\] \[t_B=t_A+\frac{x}{v+u}-\frac{y}{v-u}=t_A+\frac{x}{x+y}\cdot\frac{x+y}{v+u}-\frac{y}{x+y}\cdot\frac{x+y}{v-u}.\] Учитывая (1), (2) и (3), получаем \[t_B=t_A+\frac{t_1^2}{t_1+t_2}-\frac{t_2^2}{t_1+t_2}=t_A+t_1-t_2.\] Ответ: \(t_B=8\) часов.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.