Система грузов на трубе (C2)

1) На тела \(m\) и \(M\) действуют силы: сила тяжести, сила натяжения нити \(T\) и (для \(m\) в точке \(A\)) сила реакции трубы \(N\). В момент отрыва \(N = 0\).

2) Второй закон Ньютона для груза \(m\) в верхней точке (центростремительное ускорение \(a_{цс} = v^2/R\), \(R\) — радиус трубы): \(mg - T = m v^2/R\); для груза \(M\): \(T - Mg = M a\).

3) Используем закон сохранения энергии, приравнивая энергию системы в начале движения (за нулевой уровень потенциальной энергии принят начальный уровень) и в момент, когда \(m\) находится в точке \(A\). Тело \(m\) поднялось на высоту \(R\) и приобрело кинетическую энергию \(mv^2/2\); тело \(M\) опустилось на расстояние \(\pi R/2\) (четверть окружности) и приобрело кинетическую энергию \(Mv^2/2\) (нить нерастяжима, скорости равны \(v\)). Получаем уравнение $$\frac{mv^2}{2} + mgR + \frac{Mv^2}{2} - Mg \frac{\pi R}{2} = 0.$$

4) Подставляя \(v^2 = gR\) (из условия отрыва в верхней точке) и сокращая на \(gR\): \(m + 2m + M - \pi M = 0\), т.е. \(3m = M(\pi - 1)\), откуда \(m = \dfrac{M(\pi - 1)}{3}\). Подставив \(M = 100\) г, получаем \(m \approx 70\) г.