Датчик силы

а) Из условия плавания тел \(F_{\text{А}} = F_{\text{тяж}}\), \(\rho_0 g V_{\text{погр}} = \rho g V_{\text{куба}}\). Так как \(\rho_0 = 2\rho\), то \(V_{\text{погр}} = V_{\text{куба}}/2\). Куб будет плавать, наполовину погрузившись в воду. Следовательно, как только вода достигнет половины высоты кубика, кубик начнёт всплывать. Минимальный объём налитой воды \(V_{\min} = \dfrac{a^3}{2}\).

б) Тогда максимальный объём воды, который можно добавить в ванночку, \(V_{\max} = \dfrac{3}{2}\,a^3\).

в) Запишем правило моментов относительно точки \(O\) до того, как кубик всплывёт, для системы: рычаг, сосуд с водой, кубик.

\[N \cdot 2a = \frac{1}{2}\rho_0 a^3 g \cdot \frac{1}{2} a + \rho_0 g V \cdot \frac{3}{2} a,\] \[N(V) = \frac{1}{2}\rho_0 a^3 g \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\frac{V}{a^3}\right). \qquad (1)\] При \(V = 0\) \(N = \dfrac{1}{8}\rho_0 a^3 g\). При \(V = \dfrac{a^3}{2}\) \(N = \dfrac{1}{2}\rho_0 a^3 g\).

Запишем правило моментов относительно точки \(O\), после того как кубик всплыл:

\[N \cdot 2a = F_{\text{давл.}}\, a, \qquad N = \frac{F_{\text{давл.}}}{2},\] \[F_{\text{давл.}} = \rho_0 g h (2a \cdot a) = \rho_0 g \left(V + \frac{a^3}{2}\right),\] \[N(V) = \frac{\rho_0 g V}{2} + \frac{\rho_0 g a^3}{4}. \qquad (2)\] При \(V_{\max} = \dfrac{3}{2}a^3\) \(N = \rho_0 g a^3\).

Уравнение (1) можно было получить из других соображений. Запишем правило моментов относительно точки \(O\): \(N \cdot 2a = N_1 \dfrac{a}{2} + F_{\text{давл.}}\, a\), где \(N_1 = m_{\text{куба}} g - F_{\text{А}}\). Подставляя, получаем тот же результат для \(N(V)\) (до всплытия): \(N = \dfrac{1}{2}\rho_0 a^3 g \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\dfrac{V}{a^3}\right)\).

Искомый график (сила реакции опоры в единицах \(\rho_0 g a^3\) как функция объёма налитой воды в единицах \(a^3\)): при \(V = 0\) значение \(\dfrac{1}{8}\), в точке \(V = \dfrac{a^3}{2}\) значение \(\dfrac{1}{2}\) (излом), в точке \(V = \dfrac{3}{2}a^3\) значение \(1\).