Простая гидростатика

Если стакан плавает, то уровень воды в сосуде после переливания остаётся постоянным. Обоснование: остаётся постоянной сила давления на дно сосуда, равная суммарной силе тяжести всей воды и пустого стакана: \[\rho g H S = Mg + mg \quad\Rightarrow\quad H = \text{const}. \qquad (1)\] Значит, после 6-го переливания стакан утонул.

Из условия плавания тел объём погружённой части пустого стакана больше \(\dfrac{6V}{12}\) и меньше \(\dfrac{7V}{12}\). Масса стекла: \[\frac{6\rho V}{12} < m < \frac{7\rho V}{12}. \qquad (2)\] Пока стакан плавал, он вытеснял объём \(\dfrac{m}{\rho}\). Утонувший стакан вытесняет объём \(\dfrac{m}{\rho_{\text{ст}}}\). Поэтому \[hS = \frac{m}{\rho} - \frac{m}{\rho_{\text{ст}}}, \quad\text{откуда}\quad S = \frac{m}{h}\left(\frac{1}{\rho} - \frac{1}{\rho_{\text{ст}}}\right). \qquad (3)\] С учётом неравенства (2) получаем ответ: \[\frac{\left(1-\rho/\rho_{\text{ст}}\right)6V}{12h} < S < \frac{\left(1-\rho/\rho_{\text{ст}}\right)7V}{12h}.\]