Расталкивание

Найдите скорости после первого столкновения из законов сохранения энергии и импульса. Далее скорости меняются в геометрической прогрессии; как связаны кинетические энергии правого и левого брусков после каждого столкновения?

После первого столкновения скорость правого бруска \(u_1 = \dfrac{2m\upsilon_0}{M+m} = \dfrac{\upsilon_0}{2}\), скорость тележки \(\upsilon_1 = \upsilon_0\dfrac{m-M}{M+m} = -\dfrac{\upsilon_0}{2}\) (из законов сохранения энергии и импульса). Знак минус означает, что тележка начнёт двигаться влево.

При столкновении с левым бруском тележка будет двигаться вправо со скоростью \(\upsilon_0/4\), а скорость правого бруска после второго столкновения станет \(u_2 = \upsilon_0/8 = u_1/4\). Далее \(u_3 = u_2/4\) и т. д.

А) Кинетические энергии правого бруска меняются тоже в геометрической прогрессии, но со знаменателем \(1/16\). Отсюда можно найти полное перемещение правого бруска, а затем и левого.

Б) Можно заметить, что после каждого столкновения отношение кинетических энергий правого и левого брусков остаётся одинаковым и равным \(4\), то есть \(L_\text{лев} = L_\text{прав}/4\). С учётом работы силы трения \(\dfrac{m\upsilon_0^2}{2} = \mu M g\,(L_\text{лев} + L_\text{прав})\), а так как \(m = M/3\), получаем \(L_\text{прав} = \dfrac{2\upsilon_0^2}{15\,\mu g}\) и \(L_\text{лев} = \dfrac{\upsilon_0^2}{30\,\mu g}\).