Из глубин...

Сила сопротивления при малом пузырьке уравновешивается силой Архимеда; дальше закон Бойля–Мариотта даёт зависимость радиуса от глубины. Отношение скоростей удобно искать по наклонам касательных к графику \(h(t)\).

Массой пузырька воздуха можно пренебречь, поэтому сила сопротивления движению равна силе Архимеда: \(kr\upsilon = \dfrac{4}{3}\pi r^3\rho g\), откуда \(\upsilon = \dfrac{4\pi r^2\rho g}{3k}\).

По закону Бойля–Мариотта \(\dfrac{4}{3}\pi r_0^3\,(p_0 + \rho g h_0) = \dfrac{4}{3}\pi r^3\,(p_0 + \rho g h)\), откуда \(r = r_0\left(\dfrac{p_0+\rho g h_0}{p_0+\rho g h}\right)^{1/3}\) и \(\upsilon = \dfrac{4\pi\rho g r_0^2}{3k}\left(\dfrac{p_0+\rho g h_0}{p_0+\rho g h}\right)^{2/3}\). Отношение скоростей у поверхности и вблизи дна \(\dfrac{\upsilon(0)}{\upsilon(h_0)} = \left(\dfrac{p_0+\rho g h_0}{p_0}\right)^{2/3}\).

Это отношение находим из графика \(h(t)\) как отношение угловых коэффициентов касательных в соответствующих точках: \(\dfrac{\upsilon(0)}{\upsilon(h_0)} \approx 1{,}8\).

Отсюда \(\dfrac{p_0+\rho g h_0}{p_0} \approx 1{,}8^{3/2} \approx 2{,}4\) и \(h_0 \approx 14\) м.

Для второго вопроса достаточно заметить, что на любой глубине скорость пузырька пропорциональна квадрату его начального радиуса. Для пузырька радиусом \(0{,}5\) мм скорость в четыре раза меньше, чем для пузырька радиусом \(r_0 = 1\) мм, а время движения в четыре раза больше: \(\tau_1 \approx 4\cdot 4{,}5\) с \(\approx 18\) с.

Для третьего вопроса найдём радиус пузырька, имевшего \(r_0 = 1\) мм на глубине \(14\) м, когда он достигнет глубины \(10\) м: \(r' = r_0\left(\dfrac{p_0+\rho g h_0}{p_0+\rho g h}\right)^{1/3} = r_0\left(\dfrac{24}{20}\right)^{1/3}\). Такой пузырёк по графику от глубины 10 м до поверхности движется \(t' \approx 2{,}9\) с. Пузырёк с радиусом \(r_0 = 1\) мм на этой глубине движется в \(\left(\dfrac{r'}{r_0}\right)^2\) раз медленнее, поэтому \(\tau_2 = t'\left(\dfrac{r'}{r_0}\right)^2 \approx 3{,}3\) с.