Частичный нагрев

Пока вентиль открыт, давление газа слева и справа одинаково, а число молей газа в каждом цилиндре свое. После закрытия вентиля числа молей не меняются, и перепад давлений уравновешивает разность уровней жидкости.

Пусть \(S\) — сечение цилиндров, \(\nu\) — полное число молей газа, \(R\) — газовая постоянная. Для начальной ситуации \(2p_0SL = \nu RT_0\).

При открытом вентиле давление газа слева и справа одинаково, обозначим его \(p\). Для каждого цилиндра при разных температурах \(pSL = \nu_1RT_0\) и \(pSL = \nu_2RT\), где \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — числа молей слева и справа; \(\nu = \nu_1 + \nu_2\). Отсюда \(p = \dfrac{2p_0T}{T+T_0}\).

После закрытия вентиля числа молей слева и справа не меняются, в конце везде температура \(T_0\), а объёмы газа слева и справа равны соответственно \((L+h)S\) и \((L-h)S\). Разность давлений при перепаде уровней \(p_1 - p_2 = 2\rho g h\). Выражая давления через уравнение состояния, \(\dfrac{\nu_1RT_0}{(L+h)S} - \dfrac{\nu_2RT_0}{(L-h)S} = 2\rho g h\), и подставляя \(p\), получаем уравнение для \(T\): \(\dfrac{p_0LT}{(T+T_0)(L+h)} - \dfrac{p_0LT_0}{(T+T_0)(L-h)} = \rho g h\).

Отсюда \(T = T_0\,\dfrac{(L+h)\bigl(p_0L + \rho g h(L-h)\bigr)}{(L-h)\bigl(p_0L - \rho g h(L+h)\bigr)}\).