Два бегуна на стадионе

Выразите времена встречи и обгона через длину круга и скорости бегунов. Скорость Короткова удобно найти из времени одного круга.

Пусть длина круга на стадионе равна \(l\), скорость Долгова — \(v_1\), скорость Короткова — \(v_2\). Тогда справедливы уравнения \[t_1=\frac{l}{v_1+v_2}\qquad\text{и}\qquad t_2=\frac{l}{v_2}.\] Из этих уравнений находим \[\frac{1}{t_2}=\frac{v_2}{l},\qquad \frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}=\frac{v_1}{l}.\qquad(*)\] А поскольку время \(t_3\), за которое Долгов догонит Короткова, если они побегут в одну сторону, равно \[t_3=\frac{l}{v_1-v_2},\] из формул \((*)\) находим \[\frac{1}{t_3}=\frac{v_1-v_2}{l}=\frac{1}{t_1}-\frac{2}{t_2}=\frac{t_2-2t_1}{t_1t_2},\] откуда \[t_3=\frac{t_1t_2}{t_2-2t_1}=\frac{24\cdot52}{52-48}=312\ \text{с}.\]