Задачи › Масса и плотность

Пиастры

  1. Пиастры

    Санкт-Петербургская 2025/26, 7 кл.
    5/10

    В кладовой морского царя есть много золотых дублонов и серебряных пиастров с затонувших кораблей. Морской царь решил из имеющихся монет отчеканить новые достоинством \(2\) пиастра. Монеты, по новой моде, должны быть биметаллические, центральная часть монеты из золота, а кольцо — из серебра, как показано на рисунке.

    Рисунок

    1. Какой будет масса новой монеты, если для чеканки монет было переплавлено одинаковое количество дублонов и пиастров?

    2. Какую часть площади монеты будет занимать центральная золотая часть?

    Известно, что \(1\) дублон стоит \(4\) пиастра, стоимость монеты равна стоимости металла, использованного для её производства. Дублоны имеют массу \(m_1 = 7\) г, пиастры — массу \(m_2 = 28\) г. Плотность золота \(\rho_1 = 19{,}6\) г/см\(^3\), плотность серебра \(\rho_2 = 10{,}5\) г/см\(^3\). Считать, что монета везде имеет одинаковую толщину. Площадь круга радиусом \(r\) можно найти по формуле \(S = \pi r^2\), где \(\pi \approx 3{,}14\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сначала найдите, сколько всего монет получится: суммарная стоимость переплавленного металла делится на номинал монеты. Затем рассмотрите объёмы золота и серебра в одной монете, учитывая, что толщина монеты одинакова.

    Ответ

    1) \(14\) г; 2) \(\approx 0{,}12\) площади монеты.

    Решение

    Пусть переплавлено \(n\) золотых дублонов и \(n\) серебряных пиастров. Их суммарная стоимость равна \(5n\) пиастров. Так как номинал новой монеты \(2\) пиастра, всего получится \(\dfrac{5n}{2}\) монет. Суммарная масса переплавленных монет \(nm_1 + nm_2\) равна суммарной массе новых монет, поэтому масса одной новой монеты \[\frac{2(nm_1 + nm_2)}{5n} = \frac{2(m_1 + m_2)}{5} = 14~\text{г}.\]

    Монета имеет форму цилиндра постоянной толщины, поэтому отношение площади золотой середины к площади всей монеты равно отношению объёма золота к объёму монеты. Объём золота \(\dfrac{nm_1}{\rho_1}\), объём серебра \(\dfrac{nm_2}{\rho_2}\). Доля золота в объёме монеты \[\frac{m_1/\rho_1}{m_1/\rho_1 + m_2/\rho_2} = \frac{m_1\rho_2}{m_1\rho_2 + m_2\rho_1} = \frac{7 \cdot 10{,}5}{7 \cdot 10{,}5 + 28 \cdot 19{,}6} \approx 0{,}12.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх