Пробки на дороге

Обозначьте весь путь через \(S\), а всё время через \(t\). Выразите время движения по городу и время в заторе через \(t\) и \(S\), а путь по трассе запишите как сумму путей на свободных участках и в заторе.

Обозначим весь путь через \(S\), а всё время движения через \(t\). По городу автомобиль проехал \(\dfrac{1}{3}S\), значит, время движения по городу равно \(\dfrac{S}{3v_1}\). Так как \(\dfrac{1}{4}\) всего времени автомобиль двигался в заторе, то время движения по трассе вне затора равно \(\dfrac{3}{4}t - \dfrac{S}{3v_1}\), а время в заторе — \(\dfrac{1}{4}t\).

По трассе автомобиль проехал \(\dfrac{2}{3}S\): \[\left(\frac{3}{4}t - \frac{S}{3v_1}\right)v_2 + \frac{1}{4}t\,v_3 = \frac{2}{3}S.\] Перегруппируем слагаемые и домножим на \(12v_1\): \[(9v_1v_2 + 3v_1v_3)\,t = (8v_1 + 4v_2)\,S.\] Средняя скорость на всём пути: \[v_{\text{ср}} = \frac{S}{t} = \frac{9v_1v_2 + 3v_1v_3}{8v_1 + 4v_2} = 51~\text{км/ч}.\]