Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Тело между двумя пружинами

  1. Тело между двумя пружинами

    Росатом 2020/21, 7 кл.
    3/10

    Две пружины с коэффициентами жесткости \(k\) и \(2k\) и длиной в недеформированном состоянии \(l\) прикрепили к торцам неподвижной вертикальной рамки высотой \(l\) (более жесткая пружина сверху). Затем между пружинами закрепили тело массой \(m\). На какой высоте от нижнего торца рамки будет находиться положение равновесия тела? Размеры тела малы. Пружины вертикальны. Считать, что при любых деформациях пружин справедлив закон Гука: \(F_{упр}=k\,\Delta x\), где \(\Delta x\) — деформация пружины.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Когда тело в равновесии, обе пружины сжаты. Запишите условие равновесия сил и выразите высоту тела через \(k\), \(m\), \(l\).

    Ответ

    \(x=\dfrac{kl-mg}{3k}\) при \(mg<kl\); при \(mg \geq kl\) тело лежит на нижнем основании рамки.

    Решение

    Когда тело будет в равновесии, силы упругости пружин компенсируют силу тяжести. При этом, поскольку недеформированные длины пружин равны длине рамки, то обе пружины будут сжатыми, и сила упругости нижней пружины действует на тело вверх, сила упругости верхней — вниз.

    Пусть тело находится на высоте \(x\) от нижнего торца рамки. Тогда величина сжатия нижней пружины равна \(l-x\), верхней — \(x\). Поэтому условие равновесия тела дает \[mg + 2kx = k\,(l-x) .\] Отсюда \[x = \frac{kl-mg}{3k} .\] При \(mg>kl\) величина \(x\) оказывается отрицательной, что означает, что тело будет лежать на нижнем основании рамки (напомним, что по условию закон Гука работает для любых сжатий пружин). Действительно, в этом случае даже в отсутствие верхней пружины нижняя не сможет удержать тело при любых деформациях.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх