Лыжники: обратный порядок старта

Выразите разность времён прохождения дистанции самым медленным и самым быстрым спортсменом через \(\tau\) и \(\Delta t\), затем запишите время финиша для обратного порядка старта.

Пусть первый спортсмен преодолел дистанцию за время \(t_1\), \(N\)-ый — за время \(t_N\). Тогда, если часы в момент старта первого спортсмена показывали время \(t_0\), то в момент его финиша — \(t_0+t_1\). Поскольку в момент старта последнего спортсмена часы показывали время \(t_0+(N-1)\Delta t\), то в момент его финиша часы показывали время \(t_0+(N-1)\Delta t+t_N\). Поэтому продолжительность финиша спортсменов составила \[\tau = (t_0+t_1) - \bigl(t_0+(N-1)\Delta t+t_N\bigr) = t_1 - t_N - (N-1)\Delta t .\] Отсюда находим разность времени прохождения первым (самым медленным) и последним (самым быстрым) спортсменами \[t_1 - t_N = \tau + (N-1)\Delta t .\]

Если спортсмены стартуют в обратном порядке, то к финишу первым придет \(N\)-ый спортсмен (который стартует первым), последним — первый. Поэтому если \(N\)-ый спортсмен стартовал, когда часы показывали время \(t_0\), то он придет к финишу, когда часы будут показывать время \(t_0+t_N\), первый (который стартует последним) — когда часы будут показывать время \(t_0+t_1+(N-1)\Delta t\). Поэтому продолжительность финиша в этом случае будет равна \[\tau_1 = \bigl(t_0+t_1+(N-1)\Delta t\bigr) - \bigl(t_0+t_N\bigr) = t_1 - t_N + (N-1)\Delta t .\] Подставляя теперь в эту формулу разность времен прохождения дистанции первым и последним спортсменами, получим \[\tau_1 = \tau + 2(N-1)\Delta t = 34 \text{ мин} .\]