Тараканы на рамке

Тяжёлый таракан неподвижен относительно стола, значит рамка смещается относительно стола так же, как тяжёлый таракан движется относительно рамки, но в обратную сторону. Скорость лёгкого таракана относительно стола — это его скорость относительно рамки плюс скорость рамки.

Отметим следующее.

1. Движение лёгкого таракана бывает двух типов: прямолинейное, когда тяжёлый и лёгкий таракан движутся вдоль рамки, и дуга окружности, когда тяжёлый таракан проходит через угол рамки и рамка поворачивается (это окружность, так как поворот происходит быстро и расстояние от лёгкого таракана до тяжёлого не успевает измениться).

2. В случае поворота его угол равен \(90^\circ\), то есть траектория лёгкого таракана представляет собой четверть полной окружности. Рамка с лёгким тараканом поворачивается по часовой стрелке.

3. Траектория лёгкого таракана представляет собой дуги окружностей и отрезки прямых; направление при движении по прямой меняется, когда лёгкий таракан проходит через угол рамки. Скорость лёгкого таракана относительно земли (стола) определяется соотношением \(\vec V = \vec V_L - \vec V_H\), где \(\vec V_L\) — скорость лёгкого таракана относительно рамки (зависит от положения таракана на рамке в данный момент), \(\vec V_H\) — скорость тяжёлого таракана относительно рамки; она всегда постоянна и направлена так же, как в начальный момент времени (на рисунке — наверх).

4. Пусть время обхода лёгким тараканом рамки равно \(T\). Тогда полный период движения равен \(2T\), то есть через время \(2T\) траектория замыкается. Отметим также, что тяжёлый таракан пересекается с лёгким в моменты времени \(\frac23 T\) и \(\frac43 T\), если считать начальный момент времени нулевым. В моменты \(\frac23 T\) и \(\frac43 T\) лёгкий таракан проходит через начальную точку относительно земли.

5. Движение лёгкого таракана разбивается на следующие этапы (см. рисунок к решению). Жирной стрелкой показана длина стороны квадрата. Слева от траектории показано положение тараканов и рамки после каждого поворота (точки 4, 7, 10). Этапы: 1–2 [\(0\), \(T/4\)] отрезок; 2–3 [\(T/4\), \(T/2\)] отрезок; 3–4 [\(T/2\)] дуга окружности; 4–5 [\(T/2\), \(3T/4\)] отрезок; 5–6 [\(3T/4\), \(T\)] отрезок; 6–7 [\(T\)] дуга окружности; 7–8 [\(T\), \(5T/4\)] отрезок; 8–9 [\(5T/4\), \(3T/2\)] отрезок; 9–10 [\(3T/2\)] дуга окружности; 10–11 [\(3T/2\), \(7T/4\)] отрезок; 11–12 [\(7T/4\), \(2T\)] отрезок. Точка 12 совпадает с точкой 1.