Брусок на пружине и блок

Обоснование. 1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчёта, связанной с поверхностью стола. 2. Будем применять для грузов и бруска законы Ньютона, справедливые для материальных точек, поскольку тела движутся поступательно. 3. Трением в оси блока и трением о воздух, а также массой блока пренебрежем. 4. Так как нить нерастяжима и длина пружины постоянна, ускорения обоих брусков и груза равны по модулю: \(|\vec a_1| = |\vec a_2| = |\vec a_3| = a\). 5. На рисунке показаны силы, действующие на бруски и груз. 6. Так как блок и нити невесомы, а трение отсутствует, то модули сил натяжения нити, действующих на груз и верхний брусок, одинаковы: \(|\vec T_1| = |\vec T_2| = T\). 7. Равны по модулю и силы \(|\vec F_{\text{упр2}}| = |\vec F_{\text{упр3}}|\), так как пружина лёгкая.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел. Тело массой \(M\): \(M\vec g + \vec T_1 + \vec F_{\text{тр}} + \vec N = M\vec a_1\). Верхний груз массой \(m\): \(m\vec g + \vec T_2 + \vec F_{\text{упр2}} = m\vec a_2\). Нижний груз массой \(m\): \(m\vec g + \vec F_{\text{упр3}} = m\vec a_3\). Спроецируем второй закон Ньютона для \(M\) на вертикальную и горизонтальную оси с учётом пунктов 4 и 6: \(Mg = N\), \(T - F_{\text{тр}} = Ma\). Сила трения скольжения: \(F_{\text{тр}} = \mu N = \mu M g\), поэтому \(T - \mu M g = Ma\). Спроецируем второй закон Ньютона для тел \(m\), учитывая, что \(F_{\text{упр}} = k\Delta l\), где \(\Delta l\) — удлинение пружины. Верхний груз: \(mg + k\Delta l - T = ma\). Нижний груз: \(mg - k\Delta l = ma\). Получаем систему уравнений: \[\begin{cases} T - \mu M g = Ma \\ mg + k\Delta l - T = ma \\ mg - k\Delta l = ma \end{cases}\] Сложив три уравнения, находим: \[a = \frac{2mg - \mu M g}{M + 2m} = \frac{2 \cdot 0{,}4 \cdot 10 - 0{,}2 \cdot 0{,}8 \cdot 10}{0{,}8 + 2 \cdot 0{,}4} = 4 \text{ м/с}^2.\] Из последнего уравнения системы: \[\Delta l = \frac{m(g-a)}{k} = \frac{0{,}4 \cdot (10 - 4)}{80} = 0{,}03 \text{ м}.\] Тогда общая длина пружины \(L = l + \Delta l = 0{,}1 \text{ м} + 0{,}03 \text{ м} = 0{,}13 \text{ м}\).