Задачи › Поверхностное натяжение, давление Лапласа

Тупая игла

  1. Тупая игла

    ВсОШ 2024/25, 9 кл.
    5/10

    При медленном движении поршня шприца масса \(m\) капли жидкости на конце иглы постепенно нарастает. Если шприц расположен вертикально, иглой вниз, то отрыв капли происходит при некотором значении \(m\), которое можно определить по формуле \[m = \pi g^{\alpha} d^{\beta} \sigma_{эф}^{\gamma},\] где \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) — некоторые целые числа, \(\pi\) — безразмерный коэффициент, равный \(3{,}14\), \(g\) — ускорение свободного падения, равное \(9{,}8\) м/с\(^2\), \(d\) — внешний диаметр иглы, \(\sigma_{эф}\) — эффективный коэффициент поверхностного натяжения, зависящий от природы соприкасающихся сред. Единицы измерения коэффициента поверхностного натяжения — Н/м.

    1. Укажите в работе внешние диаметры выданных Вам игл.

    2. Определите показатели степеней \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\).

    3. Экспериментально исследуйте зависимость массы капли \(m\) от внешнего диаметра иглы \(d\). Опишите метод определения массы капли \(m\).

    4. Постройте график полученной зависимости.

    5. С помощью графика определите значение \(\sigma_{эф}\).

    Оборудование: набор из 7 игл с известными внешними диаметрами \(d\) (см. таблицу); шприц объёмом 1 мл; стакан с водой плотностью \(\rho_0 = 1{,}0\) г/см\(^3\); салфетки для поддержания чистоты; лист миллиметровой бумаги для построения графика.

    Внимание! Оценка погрешностей в этой работе не требуется.

    Таблица соответствия калибра иглы и её внешнего диаметра:

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Проанализируйте размерности величин: \([m] = \text{кг}\), \([\sigma_{эф}] = \text{Н/м} = \text{кг/с}^2\). Подберите степени так, чтобы размерности совпали. Массу капли удобно найти, подсчитав число капель \(N\), отделившихся от известного объёма жидкости \(V\): \(m = \rho_0 V/N\).

    Ответ

    1) \(d\): \(0{,}40\); \(0{,}70\); \(0{,}80\); \(0{,}90\); \(1{,}03\); \(1{,}25\); \(1{,}60\) мм (диаметры игл авторского оборудования; см. решение); 2) \(\alpha = -1\), \(\beta = 1\), \(\gamma = 1\); 5) \(\sigma_{эф} \approx 0{,}059\) Н/м.

    Решение

    Внешние диаметры игл, использовавшихся в авторском оборудовании: \(0{,}40\); \(0{,}70\); \(0{,}80\); \(0{,}90\); \(1{,}03\); \(1{,}25\); \(1{,}60\) мм.

    Показатели степеней определяем из размерностей. Масса капли \(m = \pi g^{\alpha} d^{\beta}\sigma_{эф}^{\gamma}\): \[\text{кг} = \left(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right)^{\alpha}\cdot \text{м}^{\beta}\cdot \left(\frac{\text{кг}}{\text{с}^2}\right)^{\gamma} = \text{м}^{\alpha+\beta}\,\text{кг}^{\gamma}\, \text{с}^{-2\alpha-2\gamma}.\] Отсюда \(\gamma = 1\); \(2\alpha + 2\gamma = 0 \Rightarrow \alpha = -1\); \(\alpha + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 1\).

    Зависимость массы капли от диаметра иглы: \(m = \dfrac{\pi\sigma_{эф}}{g}\,d\).

    Исследуем зависимость массы капли от диаметра. Считаем количество капель \(N\), вытекших из объёма \(V\) для разных игл, и находим массу капли \(m = \rho_0 V/N\). Результаты измерений:

    Рисунок

    График зависимости \(m(d)\):

    Рисунок

    По графику угловой коэффициент \(k = \dfrac{\pi\sigma_{эф}}{g} \approx 0{,}019\) г/мм. Тогда \[\sigma_{эф} = \frac{kg}{\pi} \approx 0{,}059 \text{ Н/м}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх