Задачи › Упругие столкновения

Левитация

  1. Левитация

    ВсОШ 2011/12, 11 кл.
    6/10

    Над поверхностью Земли находится пластина массой \(M\). Между ней и землёй движется шарик массой \(m\). В момент любого столкновения пластины с шариком высота пластины над землёй равна \(H\), как будто пластина просто «висит» (рис. 5). Все удары абсолютно упругие.

    Считая, что пластина всегда параллельна поверхности земли и может двигаться только вертикально, найдите кинетическую энергию \(K\) шарика у поверхности земли при условии \(m \ll M\). (Скорость шарика при всех столкновениях с пластиной одна и та же.)

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Из законов сохранения энергии и импульса при упругом ударе найдите связь скоростей пластины и шарика. Затем выразите высоту \(H\) через время между столкновениями.

    Ответ

    \(K = \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{MgH}{2}\).

    Решение

    Пусть во время столкновения скорость пластины равнялась \(V\), а скорость шарика — \(v\). Из законов сохранения энергии и импульса следует соотношение \(MV = mv\). Промежуток времени между столкновениями равен промежутку времени, необходимому для того, чтобы скорость пластины поменяла знак: \(2V = gt\), откуда \(t = \dfrac{2V}{g}\). Это время должно быть равно времени, необходимому для того, чтобы шарик долетел до земли, отразился и вернулся обратно: \[H = v\left(\frac t2\right) + \frac g2\left(\frac t2\right)^2.\] Решая систему из этих трёх уравнений, получаем \[gH = \frac{mv^2}{M}\left(1 + \frac12\frac mM\right) \simeq \frac mM v^2.\] Поэтому \[K = \frac{mv^2}{2} = \frac{MgH}{2}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх