Заряженный конденсатор

Пишите закон сохранения энергии с учётом работы ЭДС батареи. Для третьего пункта учтите, что заряд на конденсаторе может стать и положительным, и отрицательным.

1.) Начальный заряд на конденсаторе \(q_0 = 3C\mathcal{E}\). После замыкания ключа ток течёт против ЭДС. Максимальная сила тока будет тогда, когда заряд на конденсаторе будет равен \(q = C\mathcal{E}\). ЭДС совершит отрицательную работу. Закон сохранения энергии: \[(q - q_0)\mathcal{E} = \frac{q^2}{2C} - \frac{q_0^2}{2C} + \frac{LI_{\max}^2}{2},\] откуда \(I_{\max} = \mathcal{E}\sqrt{\dfrac{4C}{L}}\).

2.) На конденсаторе заряда нет. Поэтому ЭДС совершает работу \(A = -\mathcal{E}q_0\). Закон сохранения энергии: \(-\mathcal{E}q_0 = -\dfrac{q_0^2}{2C} + \dfrac{LI^2}{2}\), откуда \(I = \mathcal{E}\sqrt{\dfrac{3C}{L}}\).

3.) Пусть против ЭДС протекает положительный заряд \(q\) и \(I = 0\). Закон сохранения энергии: \[-\mathcal{E}q = \frac{(q_0-q)^2}{2C} - \frac{q_0^2}{2C}.\] Одно из решений \(q = 0\) совпадает с начальным положением системы, заряд при этом равен \(Q_1 = 3C\mathcal{E}\). Второе решение \(q = 4C\mathcal{E}\) соответствует заряду \(Q_2 = q_0 - q = -C\mathcal{E}\) (знак заряда противоположен начальному).