Пельмени при общем N

Кипение прекращается после каждой добавленной пельмешки и возобновляется, когда плита восполнит недостающее тепло. Составьте тепловой баланс для всего процесса до опускания последней пельмешки, считая температуру кипения \(T_k = 100\,^{o}\)C.

Рассмотрим ситуацию, когда мы добавляем пельмешки уже после того, как вода в первый раз закипела. Ясно, что при добавлении очередной охлаждённой пельмешки в кипящую кастрюлю система быстро приходит к тепловому равновесию и кипение прекращается. Обозначим за \(\Delta t\) время кипения воды в промежутке между закидыванием пельмешек. Понятно, что для восстановления кипения после добавления новой пельмешки требуется время, равное \(\tau - \Delta t\). В течение этого процесса начальная и конечная температуры всего содержимого кастрюли, кроме новой пельмешки, одинаковы (\(T_k = 100\,^{o}\)C). Значит, можно считать, что вся теплота, переданная плиткой за это время, пошла на разогрев новой пельмешки до температуры кипения воды. Тогда уравнение теплового баланса будет иметь вид: \[C_п(T_k - T_п) = P(\tau - \Delta t).\] Из полученного уравнения можно выразить \(\Delta t\): \[\Delta t = \frac{1}{P}\left[P\tau - C_п(T_k - T_п)\right]. \tag{4}\] Так как ответ не зависит от количества пельменей в кастрюле, то если хоть раз вода закипела, то она будет вскипать после добавления всех последующих пельменей. Обозначим время кипения после первого закипания кастрюли за \(\Delta t_1\). Если вода всего в процессе закипала \(n_k\) раз, то в наших обозначениях общее время кипения \(t_k\) записывается так: \[t_k = \Delta t_1 + (n_k - 1)\Delta t.\] Понятно, что \(\Delta t_1 \le \Delta t\), потому что часть теплоты, переданной плиткой, могла уйти на разогрев до \(T_k\) не только новой пельмешки, но и остальных ингредиентов кастрюли. Тогда можно выразить количество закипаний так: \[n_k = \left\lfloor \frac{t_k}{\Delta t} \right\rfloor + 1. \tag{5}\] По условию задачи до момента опускания последней пельмешки прошло время, равное \(t = (N-1)\tau\). Тогда обозначим общую теплоту, потраченную на кипение воды с начала процесса, \(Q_{\Lambda}\). К моменту опускания последней пельмешки вся вода была нагрета до \(T_k\) (та часть, которая испарилась при кипении, также была сначала нагрета до \(T_k\)), на это ушла теплота \(Q_B = c_в M_в (T_k - T_в)\). Кроме того, \(N-1\) пельменей тоже оказались нагреты до \(T_k\), на что ушла теплота \(Q_п = (N-1)C_п(T_k - T_п)\). Тогда уравнение теплового баланса для всего процесса запишется как: \[Q_B + Q_п + Q_{\Lambda} = Pt.\] Так как температура системы при кипении воды не меняется, то вся теплота от плитки при этом идёт на кипение воды: \(Q_{\Lambda} = P t_k\). Подставляя в это выражения для теплот, получаем: \[c_в M_в (T_k - T_в) + (N-1)C_п(T_k - T_п) + P t_k = P(N-1)\tau.\] Остаётся выразить \(t_k\). После несложных упрощений получаем, что общее время кипения воды: \[t_k = \frac{1}{P}\left[(N-1)\left(P\tau - C_п(T_k - T_п)\right) - c_в M_в (T_k - T_в)\right]. \tag{8}\] Для того чтобы найти \(n_k\) по формуле (5), рассчитаем отношение \(t_k/\Delta t\) с использованием выражений (8) и (4): \[\frac{t_k}{\Delta t} = N - 1 - \frac{c_в M_в (T_k - T_в)}{P\tau - C_п(T_k - T_п)}. \tag{9}\] Сопоставляя (5) и (9), получаем ответ: \[n_k = N - 1 - \left\lfloor \frac{c_в M_в (T_k - T_в)}{P\tau - C_п(T_k - T_п)} \right\rfloor. \tag{10}\] Стоит отметить, что мощности плитки может не хватить для того, чтобы кастрюля хоть раз вскипела. Эту минимальную мощность можно получить из соотношения (7), положив в нём \(t_k = 0\). Таким образом, кастрюля ни разу не вскипит, если выполнено неравенство: \[P \le \frac{C_п(T_k - T_п)}{\tau} + \frac{c_в M_в (T_k - T_в)}{(N-1)\tau}.\]