Спутник и плотность планеты
3/10Спутник обращается по круговой орбите вокруг планеты. Высота орбиты \(h = 0{,}5R\), здесь \(R\) — радиус планеты. Плотность планеты \(\rho\). Гравитационная постоянная \(G\). Объём шара \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).
Найдите ускорение \(g\) свободного падения на расстоянии \(2R\) от центра планеты.
Найдите период \(T\) обращения спутника.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаМасса планеты равна \(\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\). Для второго пункта запишите второй закон Ньютона для спутника и связь периода со скоростью.
Ответ1) \(g = \dfrac{\pi}{3}\,G\rho R\); 2) \(T = \dfrac{9}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{2G\rho}}\).
Решение1) На поверхности планеты \(mg = G\dfrac{mM}{(2R)^2}\) при \(M = \dfrac{4}{3}\pi R^3\rho\), поэтому \[g = \frac{G}{4R^2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho = \frac{\pi}{3}\,G\rho R .\]
2) Радиус орбиты \(R + h = \dfrac{3}{2}R\). Второй закон Ньютона для спутника: \[G\frac{mM}{(R+h)^2} = \frac{mv^2}{R+h}, \qquad v = \frac{2\pi(R+h)}{T} .\] Отсюда \(T^2 = \dfrac{4\pi^2(R+h)^3}{GM} = \dfrac{3\pi}{G\rho}\left(1 + \dfrac{h}{R}\right)^3\), и \[T = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}\left(1 + \frac{h}{R}\right)^{3/2} = \frac{9}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2G\rho}} .\]
Похожие задачи
- Корабль у неизвестной планеты МОШ 2010/11, 10 кл.
- Период спутника Курчатов 2014/15, 10 кл.
- Период спутника на орбите 2R Курчатов 2015/16, 10 кл.
- Спутник, неподвижный над точкой экватора Ведомственная 2015/16, 9 кл.
- Плотность нейтронной звезды «Надежда энергетики» 2018/19, 9 кл.
- Две планеты и спутники Физтех 2021/22, 9 кл.