Задачи › Сообщающиеся сосуды, гидравлический пресс

Сообщающиеся сосуды с поршнями и пружиной

  1. Сообщающиеся сосуды с поршнями и пружиной

    Физтех 2021/22, 9 кл.
    3/10

    На горизонтальной поверхности расположены два цилиндрических сообщающихся сосуда (см. рис.), в которых налита жидкость плотности \(\rho\). На свободных поверхностях жидкости находятся лёгкие поршни. Зазоров между стенками сосудов и поршнями нет. Левый поршень соединён пружиной жёсткости \(k\) с верхней опорой. Разность уровней жидкости в сосудах равна \(h\). Площадь сечения левого поршня \(S\), правого \(S/2\). Трение поршней о стенки сосудов пренебрежимо мало. Ускорение свободного падения \(g\).

    Рисунок

    1. Найдите деформацию \(x\) пружины.

    2. Найдите массу \(m\) груза, который следует положить на правый поршень, чтобы пружина стала недеформированной.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Давление жидкости на уровне дна одно и то же в обоих сосудах. Выразите давление под левым поршнем через силу пружины, а во втором пункте учтите, что при смещении поршней объём жидкости сохраняется.

    Ответ

    1) \(x = \dfrac{\rho g h S}{k}\);  2) \(m = \dfrac{\rho S}{2}\,(h + 3x) = \dfrac{\rho h S}{2}\left(1 + \dfrac{3\rho g S}{k}\right)\).

    Решение

    1) Пусть \(P\) — давление под левым поршнем, \(P_0\) — атмосферное давление, \(x\) — удлинение пружины. Тогда \(P_0 = P + \rho g h\). Условие равновесия левого поршня: \(kx + PS = P_0 S\), откуда \(P = P_0 - \dfrac{kx}{S}\). Из этих двух соотношений \(\rho g h = \dfrac{kx}{S}\), то есть \[x = \frac{\rho g h S}{k} .\]

    2) Левый поршень поднялся на \(x\), а правый опустился на \(x'\). Из постоянства объёма жидкости \(Sx = \dfrac{S}{2}\,x'\), то есть \(x' = 2x\). В новом положении равновесия пружина недеформирована, и \[\rho g\,(h + x + x') = \frac{mg}{S/2} .\] Отсюда \(m = \dfrac{\rho S}{2}\,(h + 3x) = \dfrac{\rho h S}{2}\left(1 + \dfrac{3\rho g S}{k}\right)\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх