Два куба на нитях и поднимающаяся вода

Выпишите условия равновесия кубов при погружении меньшего на \(x\) и большего на \(y\), исключите натяжение нити и найдите связь между \(x\) и \(y\). Затем учтите, как связаны скорости смещения кубов относительно дна.

\(t=\dfrac{5a}{16V}\).

При увеличении уровня жидкости первым полностью погрузится меньший куб: для того же прироста выталкивающей силы большему кубу достаточно погрузиться лишь на \(a/8\).

Пусть меньший куб погружён на глубину \(x\), больший — на \(y\), плотности жидкости \(\rho_0\), меньшего куба \(\rho_1\), большего \(\rho_2\), натяжение нити \(T\). Условия равновесия: $$T+\rho_1ga^3=\rho_0ga^2x,  T+\rho_2g\cdot8a^3=\rho_0g\cdot4a^2y.$$ Исключив \(T\), получаем связь глубин погружения в любой момент: $$4(\rho_0y-2\rho_2a)=\rho_0x-\rho_1a.$$

Пусть скорость смещения меньшего куба относительно дна равна \(u\). Нить нерастяжима, поэтому больший куб поднимается относительно дна с такой же скоростью \(u\). Через время \(t\) глубины изменятся: \(x\to x+(V+u)t\) (уровень жидкости поднимается со скоростью \(V\), меньший куб опускается относительно дна со скоростью \(u\)) и \(y\to y+(V-u)t\). Подставив в связь глубин, получаем кинематическое условие $$4(V-u)=V+u,  u=\dfrac{3V}{5}.$$

Меньший куб полностью погрузится, когда его глубина возрастёт с \(a/2\) до \(a\), то есть на \(a/2\). Скорость изменения его глубины равна \(V+u=\dfrac{8V}{5}\), поэтому $$t=\dfrac{a/2}{V+u}=\dfrac{5a}{16V}.$$

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.