Диполь в электрическом поле

Сила на диполь равна разности сил на зарядах \(+q\) и \(-q\). При малом \(l\) эта разность выражается через производную поля. Какой вид имеет уравнение движения при таком законе силы?

Сила, действующая на диполь со стороны электрического поля, есть сумма сил, действующих на заряды \(+q\) и \(-q\). Пусть координата центра диполя равна \(x\). Тогда \[F_x(x) = qE\!\left(x + \frac{l}{2}\right) - qE\!\left(x - \frac{l}{2}\right) = q\,\frac{dE}{dx}\,l = -\frac{2qlE_0}{L^2}\,x.\] Второй закон Ньютона для диполя: \[m\ddot x = F(x) = -\frac{2qlE_0}{L^2}\,x.\] Полученное уравнение — уравнение гармонических колебаний с циклической частотой \[\omega = \sqrt{\frac{2qlE_0}{mL^2}}.\] Его решение можно записать в виде \[x(t) = A\cos(\omega t + \varphi), \qquad v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi).\] Постоянные \(A\) и \(\varphi\) найдём из начальных условий (при \(x(0) = -L\), \(v(0) = v_0\)): \[\varphi = \arctg\frac{v_0}{\omega L} + \pi, \qquad A = L\sqrt{1 + \left(\frac{v_0}{\omega L}\right)^2}.\] Наибольшая скорость диполя \[v_{\max} = A\omega = \sqrt{v_0^2 + \frac{2qlE_0}{m}}.\] Фазу колебаний в момент, когда диполь покидает область поля, найдём из тригонометрии: \[\varphi_1 = 2\pi - \arctg\frac{v_0}{\omega L}.\] Зная начальную и конечную фазы, находим время пролёта: \[t = \frac{\varphi_1 - \varphi}{\omega} = \frac{1}{\omega}\left(\pi - 2\arctg\frac{v_0}{\omega L}\right).\]