Задачи › Системы линз и зеркал

Линзы в круг

  1. Линзы в круг

    ВсОШ 2011/12, 11 кл.
    8/10

    Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли рукопись, в которой обсуждалось, как может идти луч через систему из \(N\) одинаковых линз, оптические центры которых лежат на окружности, а их плоскости перпендикулярны этой окружности и проходят через её центр. От времени чернила выцвели, и на схеме остались видны только следы от плоскостей двух соседних линз и фокус одной из них (рис. 18). Из текста следовало, что луч, преломляясь в каждой из линз, идёт по сторонам правильного \(N\)-угольника. Вид линзы и её диаметр \(D\) приведены на рис. 19.

    Рисунок
    Рисунок

    1. Какие это могли быть линзы — собирающие или рассеивающие?

    Построением (с помощью циркуля и линейки без делений) восстановите:

    1. положение ещё двух линз (слева и справа от изображённых на рисунке плоскостей линз);

    2. возможные положения оптических центров четырёх получившихся линз;

    3. возможный ход луча через эти линзы.

    Ответ обоснуйте.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для тонкой линзы луч, проходящий через двойной фокус, после преломления возвращается симметрично относительно оптической оси. Сравните положение точек двойных фокусов с углом, образованным плоскостями линз.

    Ответ

    1) линзы могут быть как собирающими, так и рассеивающими; фокус \(F\) принадлежит одной из линз (левой). 2)–4) построения и ход луча — см. решение.

    Решение

    1. По условию плоскости линз образуют правильный многоугольник. Из центра \(C\) проводим два луча \(CD\) и \(CE\), образующие с ближайшими прямыми \(CA\) и \(CB\) углы \(\alpha = \dfrac{2\pi}{N}\). Это и будут проекции плоскостей линз на плоскость рисунка.

    2. Предположим, что фокус \(F\) принадлежит левой линзе. Проведём через него перпендикуляр к этой линзе (рис. 31). Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью линзы даёт положение её оптического центра \(O\). Отметим на остальных плоскостях оптические центры линз.

    3. Многоугольник правильный, поэтому ход луча относительно плоскости линзы симметричен. Из формулы для тонкой собирающей линзы следует, что при таком ходе луч пересекает главную оптическую ось линзы на двойном фокусном расстоянии. Если же линза рассеивающая, то точку двойного фокуса пересечёт воображаемое продолжение луча. Откладываем на главных оптических осях каждой линзы двойные фокусные расстояния. Луч, идущий через двойные фокусы, лежащие внутри \(ACB\), пойдёт относительно точки \(C\) дальше оптических центров линз; это соответствует собирающей линзе. Луч, идущий через двойные фокусы, лежащие снаружи \(ACB\), пойдёт относительно точки \(C\) ближе оптических центров линз; это соответствует рассеивающей линзе. Пусть эти лучи пересекают плоскости линз (\(CA\) и \(CB\)) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(A_2\), \(B_2\). Откладывая от центра \(C\) отрезки длиной \(CB_1\), мы восстановим точки, через которые пройдёт искомый луч, если линзы собирающие. Если откладывать от центра \(C\) отрезки длиной \(CB_2\), мы восстановим точки, через которые пройдёт искомый луч, если линзы рассеивающие. В обоих случаях луч проходит сквозь линзы (радиус каждой линзы равен \(D/2\)).

    Рисунок

    4. Теперь предположим, что фокус \(F\) относится к правой линзе. Выполнив все построения аналогично рассмотренному случаю, убеждаемся, что луч пройдёт мимо линз (на расстоянии, большем её радиуса \(D/2\)).

    5. Итак, возможны два варианта: линза может быть собирающей и рассеивающей. Фокус \(F\) принадлежит левой линзе.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх