Магнетизм

Следите за тем, как меняется площадь контура и магнитный поток через него при движении стержней. Установившееся состояние наступает, когда ЭДС индукции исчезает, то есть когда скорости стержней выравниваются.

При изменении площади контура \(ABCD\), образованного стержнями и направляющими, из-за возникающей ЭДС индукции в системе течёт электрический ток. Силы Ампера действуют так, что тормозят стержень \(AB\) и разгоняют \(CD\). При выравнивании скоростей \(v_{AB}\) и \(v_{CD}\) магнитный поток через контур перестаёт изменяться, исчезают ЭДС индукции и индукционный ток, а с ними и силы Ампера. С этого момента стержни движутся с равными скоростями.

За малый промежуток времени \(\Delta t\) изменение площади контура \(\Delta S = (v_{AB} - v_{CD})\,l\,\Delta t\), изменение магнитного потока \(\Delta\Phi = B\,\Delta S\). Отсюда ЭДС индукции, ток в контуре, силы Ампера и ускорения стержней (направленные противоположно): \[|\mathcal{E}_{\text{и}}| = B(v_{AB} - v_{CD})\,l, \qquad I_{AB} = I_{CD} = \frac{B(v_{AB} - v_{CD})\,l}{2R}, \qquad F_{AB} = F_{CD} = \frac{B^2 l^2 (v_{AB} - v_{CD})}{2R},\] \[a = \frac{B^2 l^2 (v_{AB} - v_{CD})}{2mR}.\] С учётом направления ускорения \[\frac{\Delta v_{AB}}{\Delta t} = -\frac{B^2 l^2 (v_{AB} - v_{CD})}{2mR}, \qquad \frac{\Delta v_{CD}}{\Delta t} = \frac{B^2 l^2 (v_{AB} - v_{CD})}{2mR}.\] Домножая обе части на \(\Delta t\) и учитывая, что \((v_{AB} - v_{CD})\,\Delta t = \Delta d\) — изменение расстояния между стержнями, получаем \[\Delta v_{AB} = -\frac{B^2 l^2}{2mR}\,\Delta d, \qquad \Delta v_{CD} = \frac{B^2 l^2}{2mR}\,\Delta d.\] Тогда \[v_{AB} = v_0 - \frac{B^2 l^2}{2mR}\,\Delta d, \qquad v_{CD} = \frac{B^2 l^2}{2mR}\,\Delta d.\] При выравнивании скоростей \[v_0 - \frac{B^2 l^2}{2mR}\,\Delta d = \frac{B^2 l^2}{2mR}\,\Delta d, \qquad \text{отсюда} \qquad \Delta d = \frac{m v_0 R}{B^2 l^2}.\] Окончательно установившееся расстояние между стержнями \[d' = d + \Delta d = d + \frac{m v_0 R}{B^2 l^2}.\] Скорости при этом \(v_{AB} = v_{CD} = v_0/2\). В системе выделится теплота \[Q = \frac{m v_0^2}{2} - 2\cdot\frac{m (v_0/2)^2}{2} = \frac{m v_0^2}{4}.\]