Линейный процесс

Работа равна площади под графиком \(p(V)\). Чтобы работа была наибольшей, прямая должна быть как можно более пологой, но процесс в точке \(D\) должен ещё подводить тепло: проверьте, когда прямая касается адиабаты.

Запишем уравнение линейного процесса \(BD\) в виде \(p(V) = p_D + k(V - V_D)\), где \(p_D\) и \(V_D\) — давление и объём газа в состоянии \(D\). Отсюда \(k = -\dfrac{p_D}{V_0 - V_D}\), где \(V_0\) — точка пересечения прямой \(BD\) с осью объёмов. Процесс прекращается в точке \(D\), где данная прямая касается адиабаты (теплота подводится) (рис. 30). Условие касания адиабаты и прямой — совпадение коэффициентов наклона в точке \(D\).

Уравнение адиабаты: \(pV^\gamma = p_D V_D^\gamma\). Продифференцируем его и найдём угловой коэффициент в точке \(D\): \[p'(V_D) = -\gamma\,\frac{p_D V_D^\gamma}{V_D^{\gamma+1}} = -\gamma\,\frac{p_D}{V_D}.\] Приравнивая \(p'(V_D) = k\) при \(\gamma = 4/3\) (газ многоатомный), получаем \(V_D = \dfrac{4V_0}{7}\).

Чтобы работа была максимальной, прямую \(BD\) нужно проводить как можно более полого. В пределе это касательная к изотерме в точке \(B\). Аналогично находим \(V_B = \dfrac{V_0}{2}\). Далее \[p_D = 2p_B - \frac{p_B}{V_B}\,V_D = \frac{6}{7}\,p_B.\]

Максимальная работа равна \[A_m = \frac{1}{2}(p_B + p_D)(V_D - V_B) = \frac{1}{2}\,p_B V_B \left(1 + \frac{6}{7}\right)\left(\frac{8}{7} - 1\right) = \frac{13}{98}\,RT_B = 540{,}15~\text{Дж},\] где \(T_B = 490\) К.